主观概率和先验分布

基本概念(一、概率（probability） 二、主观概率 三、概率的数学定义 四、主客观概率的比较)

先验分布(Prior distribution)及其设定(一、设定先验分布时的几点假设 二、离散型随机变量先验分布的设定 三、连续型RV的先验分布的设定)

无信息先验分布(一、为什么要研究无信息先验 二、如何设定无信息先验分布)

利用过去的数据设定先验分布(一、有θ的统计数据 二、状态θ不能直接观察时)

主观概率和先验分布

Subjective Probability and Prior Distribution

本章主要参考文献：60，52，上帝怎样掷骰子

基本概念

一、概率（probability）

1. 频率

fn(A)==Na/N

P (A)== fn(A) … 古典概率的定义

2. Laplace在《概率的理论分析》(1812)中的定义

P(A)==k/N

式中，k为A所含基本事件数，

N为 基本事件总数

适用条件 1.基本事件有限

2.每个基本事件等可能

3.公理化定义

E是随机试验,S是E的样本空间,对E的每一事件A,对应有确定实数P(A),若满足:

① 非负性：0≤P(A)≤1

② 规范性： P(S)=1

③可列可加性：对两两不相容事件Ak (k=1,2…) (Ai∩ Aj=φ)

P(∪Ak)=∑P(Ak)

则称P(A)为事件A发生的概率

二、主观概率

(subjective probability, likelihood)

1. 为什么引入主观概率

。有的自然状态无法重复试验

如：明天是否下雨

新产品销路如何

明年国民经济增长率如何

能否考上博士生

。试验费用过于昂贵、代价过大

例：洲导弹命中率

战争中对敌方下一步行动的估计

2.主观概率定义：合理的信念的测度

某人对特定事件会发生的可能的度量。

即他相信(认为)事件将会发生的可能性大小的程度。

这种相信的程度是一种信念，是主观的，但又是根据经验、各方而后知识，对

客观情况的了解进行分析、推理、综合判断而设定(Assignment)的，与主观臆测不同。

例：考博士生、掷硬币、抛图钉

三、概率的数学定义

对非空集Ω，元素ω，即Ω=｛ω｝，F是Ω的子集A所构成的σ-域(即Ω∈F；

若A∈F则A∈F；

若Ai∈F i=1,2,…则∪Ai∈F)

若P(A)是定在F上的实值集函数，它满足

① 非负性 P(A)≥0

② 规范性 P(Ω)=1

③可列可加性

则称P(A)为直的(主以或客观)概率测度，简称概率

ω为基本事件

A为事件

三元总体(Ω，F，P)称为概率空间

注意：主观概率和客观概率（objective probability）有相同的定义

四、主客观概率的比较

(一) 基本属性：

O：系统的固有的客观性质，在相同条件下重复试验时频经的极限

S：概率是观察者而非系统的性质，是观察者对对系统处于某状态的信任程度

(二)抛硬币：正面向上概率为１／２

O：只要硬币均匀，抛法类似，次数足够多，正面向上的概率就是１／２，这是简单的

定义。

S：这确是定义，DMer认为硬币是均匀的，正、反面出现的可能性(似然率)相同，１

／２是个主观的量。

(三)下次抛硬币出现正面的概率是１／２

O：这种说法不对，不重复试验就谈不上概率

S：对DMer来说，下次出现正、反是等可能的。但是他不是说硬币本身是公正的，它可能会有偏差，就他现有知识而言，没有理由预言一面出现的可能会大于另一面，但多次抛掷的观察结果可以改变他的信念。

O、S：下次抛硬币出现正面还是反面不能确定，但知道：

要么是正面，要么是反面。

先验分布(Prior distribution)及其设定

在决策分析中，尚未通过试验收集状态信息时所具有的信息叫先验信息，由先验信息所确定的概率分布叫先验分布。

设定先验分布是Bayesean分析的需要.

一、设定先验分布时的几点假设

1.连通性(Connectivity)，又称可比性

即事件A和B发生的似然性likelihood是可以比较的：

A＞L B或A L B或B＞L A 必有一种也仅有一种成立.

** A＞L B读作 A 发生的似然性大于B 发生的似然性,

A L B 读作 A 发生的似然性与B 发生的似然性相当。

2.传递性(Transitivity)

若对事件A，B，C , A ＞L B， B ＞L C 则A ＞L C

3. 部分小于全体：若A?B则BL A

例：设定明年国民经济增长率时：

①A：8～11% B：12～15% C：15～20%

若 A ＞L B， B ＞L C ， 则 A ＞L C

② A：8～11% D：8～10% 必有D ＞L A

二、离散型随机变量先验分布的设定

1.对各事件加以比较确定相对似然率

例1. 考博士生 E：考取 E：考不取

若P(E)=2P(E) 则P(E)=2/3 P(E)=1/3

例2。某地气候状况：正常年景θ1，旱θ2，涝θ3

正常与灾年之比：3∶2 则P（θ1)=0.6

水旱灾之比1∶1 P(θ2)=P(θ3)=0.2

该法适用于状态数较少的场合

2.打赌法

设 事件E发生时收入P，（0 ＜P ＜1） 且 E＼c＝(1—P)

调整P，使决策人感到两者无差异为止, 则：P(E)=P

三、连续型RV的先验分布的设定

1.直方图法

·该法适用于θ取值是实轴的的某个区间的情况

·步骤：①,将区间划分子区间θi…离散化

②设定每个子区间的似然率π(θi)…赋值

③变换成概率密度曲线

例如：明年国民经济的增长率

·缺点：①子区间的划分没有标准

②赋值不易

③尾部误差过大

2.相对似然率法

·适用范围：同1

步骤：①离散化

②赋值：给出各区间似然的相对比值

③规范化：

例如：同1

A. 相对似然率R 似然率π(A)

子区间8～9% 10 10／ΣR

7～8 9 9／ΣR

9～10 7.5 7.5／ΣR

B. 决策者给出每二个状态似然率的比例关系

aij= pi/pj (1)

应有

aij= 1/aji (2)

aij=aik.akj (3)

在(3)式不满足时，可用最小二乘法估计决策人心目中真正的主观概率分布Pi i=1,…，n

即求规划问题

min{∑∑(aijpj - pi)}

s.t. ∑pi= 1 , pi≥0

*用拉格朗日乘数法,构造拉格朗日函数

L＝

上式对 ，i=1,2…n求偏导数，并令其为0，得：

l=1,2,…,n.

与 联列，构成n+1阶齐次方程组，求得Pi, i=1,…，n

3.区间对分法

·适用范围：可以是开区间

·步骤：①求中位

②确定上、下四分位点(quartile fractile)

③由于误差积累,最多确定八分位点(Eighth fractile)

例：产品销售量(预计明年)

·缺点：精度差

4.与给定形式的分布函数相匹配

这是最常用，且常常被滥用的方法

·步骤：①选择一个与先验信息匹配得最好的函数

如正态，泊松，β，e-Cauchy分布等

例：a)在单位时间以恒常的平均比率入出现，则在T单位长度时间内该事件出现的次数服从Poisson分布

2-4

b)若影响某一随机变量的因素很多而每一因素的作用均不显著，则该变量服从正态分布。例如，测量误差，弹落点，人的生理特征的度量，农作物产量等均服从正态分布。

c)事件A出现的概率为P，n次独立试验出现r次A的概率b(p,r,n)= . 即服从二项分布。

②参数估计：

A.矩法：N(μ,σ) Be(α，β)

·缺点：尾部估计不准，但对矩的影响却很大

B.分位数：利用几个分位点和现成的概率密度

函数分位数表，估计参数并检验。

5. 概率盘法(dart)

用园盘中的扇形区表示抽奖事件, 透用于西方管理人员

·注意：状态的概率或概率分布不是也不应富由决策分析人员来设定，而应当由决策人和有关问题专家提供基本信息。

理由：

无信息先验分布

一、为什么要研究无信息先验

·Bayesean法需要有先验分布，贝叶斯法的简明性使人在无信息时也想用它。

二、如何设定无信息先验分布

1.位置参数

随机变量X的概率密度函数形如f(x-θ)时θ∈ 称为位置参数

其无信息先验 π(θ)必为一常数

2.标度参数

X的密度函数为1/σf(x/σ)σ＞称为标度密度σ称为标度参数

其无信息先验π(σ)=1/σ

利用过去的数据设定先验分布

一、有θ的统计数据

为能获得θ的观察值θi i=1,…,n的数据，则可：

①通过直方图勾划出先验分布

②选取可能的函数形式作为先验分布，再定参数

③求频率(离散RV)

二、状态θ不能直接观察时

若直接观察的只是与 有关的 (通常都是如此)则要从 中获取 的先验信息很困难： 的分布是随边缘分布m(.)而定的：

m(x)= 或m(x)=

X、Θ的联合密度是h(x,θ)=f(x｜θ)μ(θ)

由 估计m(x)不难，但即使f(x｜θ)已知，由此估计μ(θ