质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。

素数生成公式(素数/数 个数 比值公式)

比较素数比值公式和以前的素数公式(以前（x^2）处的的素数 现在（Pn#）处的素数 两者的误差 生成图表 素数定理 合数公式 质数公式)

初等证明

素数简介(个数 费马数2^(2^n)+1 梅森质数 相关猜想)

素数生成公式

① P,!(PP,PPP…)

② Pn# * (1,2,…,(P(n+1)-1)/2) + (-P(Pn#/2),…,-P(n+1),-1,1,P(n+1),…,P(Pn#/2)),

!(P(n+1)+ * (P(n+1)+ ,P(n+1)+… )

公式说明：

Pn# 为n个素数值的阶乘。

(1,2,…,(P(n+1)-1)/2) 为遍历到等于（（下个素数值减1）除2的值）为止。

(-P(Pn#/2),…,-P(n+1),-1,1,P(n+1),…,P(Pn#/2)) 为遍历。

P(Pn#/2)为遍历到小于(阶乘Pn#值)除2值的一个素数。

P 为素数，!(PP,PPP…)、!(P(n+1)+ * (P(n+1)+ ,P(n+1)+… )皆为非素数。

P(n+1)+ 为下个或下个更大的素数。

(PP,PPP…)、!(P(n+1)+ * (P(n+1)+ ,P(n+1)+… )皆为遍历所以2个或2个以上素数的相乘。

(P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…) 遍历乘积值不大于Pn# /2为止

素数/数 个数 比值公式

( n + (Pn-1)# -1) / Pn#

公式说明：

1、n 为n个素数连乘。

2、(Pn-1)# 为每个素数值都减1的阶乘、Pn#为n个素数值的阶乘。

3、例子：

( n+ (P1-1)(P2-1)（P3-1）....(Pn-1) -1 ) /P1P2....Pn

( n+y+(f(Px)) (P1-1)(P2-1)（P3-1）....(Pn-1) -1 ) /(Px^y)P1P2....Pn

( 5 + (2-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1) -1) / 2*3*5*7*11

比较素数比值公式和以前的素数公式

以前（x^2）处的的素数

x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1

现在（Pn#）处的素数

(Pn-1)# +n -1

两者的误差

要想两式

x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1 == (Pn-1)# +n -1

恒等于，质数中x只有一个2的数没有误差:

x^2=Pn#

x=√ (Pn#)

证明正确的都是化简到了质数=2上面了，其他的都有误差，虽然通过化简都正确，但是质数分布是不对称的！我们不能吧质数分布当作自然数方程去处理！所以后来用 （ x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1）去求质数的值都出现了误差，特别是经过化简的公式更是如此。

质数公式得出：(Pn#+4)/2,(Pn#-4)/2等一定是质数！

生成图表

　　　(1,2,…,(P(n+1)-1)/2)　　　　

　　　1　2　3　4　5　6　7　8

　　　P=素数（prime number），
! (P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…)　　　　

Pn#　　　2　3　　　　　　

6　　　　　　　　　　

2*3　6_1　　5　11　　　　　　

　6+1　　7　13　　　　　　

30　　　　　　　　　　

2*3*5　30-13　　17　47　7*11= !(P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…)

　30-11　　19　7*7　79　　　　　

　30-7　　23　53　83　　　　　

　30-1　　29　59　89　　　　　

　30+1　　31　61　7*13　　　　　

　30+7　　37　67　97　　　　　

　30+11　　41　71　101　　　　　

　30+13　　43　73　103　　

210　　　　　　　　　　

2*3*5*7　210-103　　107　317　527　737　947　　　

　-101　　109　319　529　739　949　　　

　97　　113　323　533　743　953　　　

　89　　121　331　541　751　961　　　

　83　　127　337　547　757　967　　　

　79　　131　341　551　761　971　　　

　73　　137　347　557　767　977　　　

　71　　139　349　559　769　979　　　

　67　　143　353　563　773　983　　　

　61　　149　359　569　779　989　　　

　59　　151　361　571　781　991　　　

　53　　157　367　577　787　997　　　

　47　　163　373　583　793　1003　　　

　43　　167　377　587　797　1007　　　

　41　　169　379　589　799　1009　　　

　37　　173　383　593　803　1013　　　

　31　　179　389　599　809　1019　　　

　29　　181　391　601　811　1021　　　

　23　　187　397　607　817　1027　　　

　19　　191　401　611　821　1031　　　

　17　　193　403　613　823　1033　　　

　13　　197　407　617　827　1037　　　

　-11　　199　409　619　829　1039　　　

　-1　　209　419　629　839　1049　　　

　1　　211　421　631　841　1051　　　

　11　　221　431　641　851　1061　　　

　13　　223　433　643　853　1063　　　

　17　　227　437　647　857　1067　　　

　19　　229　439　649　859　1069　　　

　23　　233　443　653　863　1073　　　

　29　　239　449　659　869　1079　　　

　31　　241　451　661　871　1081　　　

　37　　247　457　667　877　1087　　　

　41　　251　461　671　881　1091　　　

　43　　253　463　673　883　1093　　　

　47　　257　467　677　887　1097　　　

　53　　263　473　683　893　1103　　　

　59　　269　479　689　899　1109　　　

　61　　271　481　691　901　1111　　　

　67　　277　487　697　907　1117　　　

　71　　281　491　701　911　1121　　　

　79　　289　499　709　919　1129　　　

　83　　293　503　713　923　1133　　　

　89　　299　509　719　929　1139　　　

　97　　307　517　727　937　1147　　　

　101　　311　521　731　941　1151　　　

　103　　313　523　733　943　1153　

2310　......　　　　　　　　　

素数定理

定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。

素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计： :p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。

质数公式原理图

合数公式

合数完全公式（Composite）

m =NN ，NNN…

合数分解通项公式（Composite）

2(n+1)，3(2n+1)，N(N，NN...)

质数公式

素数完全公式（prime）

N=n+1, ! (NN, NNN...)

// "//" 为解释说明符号

// ! 为非

// NNN...≥3 No. (3个或3个以上素数相乘)

// m=合数（Composite number），N=素数（prime number）

素数分解通项公式（prime）

①　Na=n+1, ! (NN, NNN...) //Na=2

②　Nb=2n+1, !Nb (Nb+, (Nb+)(Nb+)...) // (Nb+)≥Nb , Nb=3

Nc=5, Nd=7, //6*1-1, 6*1+1

Ne=11, Nd=13, //6*2-1, 6*2+1

Nc=17, Nd=19, //6*3-1, 6*3+1

Ne=23, //6*4-1

③　6n±1≥Nc^2, !6n±1==Nc(Nc+, (Nc+)(Nc+)...), ... // (Nc+)≥Nc , Nc=5 ，下同

// 6n±1≥Nc^2 ,为判断"6n±1"有没有到达N素数的平方

// !6n±1==Nc(Nc+, (Nc+)(Nc+)...) ,当6n±1恒等于Nc(Nc+, (Nc+)(Nc+)...) 时为非质数，下同

// Nc+ =5,7,11,13...,每次双线按≥Nc素数或(Nc+)(Nc+)... 倍数递增,下同

// Nd+=7,11,13,17...

Nf=29, //6*5-1

6n-1 , 6n+1 ,

……,

6n±1≥Nd^2, !6n±1 ==(Nc(Nc+ ...) , Nd(Nd+ ...), ...)

// (Nc(Nc+...),Nd(Nd+...)) 多项中任何一项恒等于6n±1时皆非质数,下同

6n-1 , 6n+1 ,

……,

6n±1≥Ne^2 ,!6n±1==(Nc(Nc+...) , Nd(Nd+...) , Ne(Ne+...), ...)

6n-1 , 6n+1 ,

……,

.....

初等证明

素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。

素数简介

个数

质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证明在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,…,pn，设 x = (p1·p2·...·pn)+1，如果x是合数，那么它被从p1,p2,...,pn中的任何一个质数整除都会余1，那么能够整除x的质数一定是大于pn的质数，和pn是最大的质数前提矛盾，而如果说x是质数，因为x>pn，仍然和pn是最大的质数前提矛盾。因此说如果质数是有限个，那么一定可以证明存在另一个更大质数在原来假设的质数范围之外，所以说质数的个数无限。

费马数2^(2^n)+1

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。但是，就是在F5上出了问题！费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：

F5=4294967297=641×6700417，它并非质数，而是一个合数！

更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。

梅森质数

17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。

还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。

现在，数学家找到的最大的梅森质数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。数学家虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。

相关猜想

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可以分为两个猜想（前者称“强”或“二重哥德巴赫猜想”后者称“弱”或“三重哥德巴赫猜想”)：1、每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2、每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇质数之和。

黎曼猜想

黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于质数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。

此条质数之规律内的质数经过整形，“关于质数的方程的所有意义的解都在一条直线上”化为球体质数分布。

孪生质数猜想

1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。

猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。

10016957和10016959是发生在第333899位序号质数月的中旬[18±1]的孪生质数。