“秩”字从禾，从失；“禾”指五谷、俸禄，“失”意为“动态排序”。“禾”与“失”联合起来表示“官员俸禄的动态排序”。本义：根据功过确定的官员俸禄。引申义：根据功过评定的官员品级。再引申义：次序。

汉字解释(基本信息 基本字义 详细字义 数学释义 康熙字典 说文解字 方言集汇 英语翻译)

线性代数中的秩(定义 可替代的定义 性质 计算 应用)

汉字解释

基本信息

拼音：zhì 注音：ㄓˋ
部首：禾，部外笔画：5,总笔画：10

五笔86:TRWY　五笔98:TTGY　仓颉:HDHQO　郑码:MFMO

笔顺编号:3123431134　四角号码:25980　UniCode:CJK 统一汉字 U+79E9

基本字义

秩

有条理，不混乱的情况：～序。

古代官吏的俸禄：“官人益～，庶人益禄”。

古代官职级别：委之常～。贬～三等。

十年：七～寿辰。

详细字义

秩 zhì 形声。字从禾，从失，失亦声。“失”为“轶”省。“轶”意为“后车超前车”，引申为“（车辆的）动态排序”。“禾”指“五谷”，引申为“俸禄”。“禾”与“轶”省联合起来表示“动态的俸禄排序”。本义：根据功过确定的官员俸禄。引申义：根据功过评定的官员品级。再引申义：次序。说明：古代官员的俸禄并非铁饭碗，而是根据年终考评确定。有功者俸禄增加，有罪者俸禄减少乃至取消。这就像官员的座车组成的车队，有的车可以超上去，提升自己在车队行列中的位置，有的会拉下来，落在后面，这就有了动态排序的概念。

1.官吏的俸禄。

秩，积也。从禾，失声。——《说文》

父兄大臣禄秩过功，章服侵等。----《韩非子·亡征》

2.官吏的官阶、品级。

遗诏赐诸侯王各千金，将相列侯郎吏皆以秩赐金----《史记·吕太后本纪》

嘉此戎功，晋秩枢佐。―― 明《袁可立晋秩兵部右侍郎诰》

3.次序。

贱者咸得秩进。----《汉书·谷永传》

4.整理。

乃命四监，收秩薪柴。----《吕氏春秋·季冬》

5.年份，十年为一秩。

已开第七秩，饱食仍安眠。----《白居易·思旧》

6.渤海国官吏品级。分八秩。三秩以上穿紫衣、牙笏、金鱼。五秩以上穿绯衣、牙笏、银鱼。六、七秩穿浅绯衣，八秩穿绿衣，皆用木笏。

数学释义

线性代数中矩阵中的任意一个r阶子式不为0,且任意的r+1阶子式为0,则阶数r就叫作该矩阵的秩.

康熙字典

【午集下】【禾字部】秩 ·康熙笔画：10　·部外笔画：5

〔古文〕豑《广韵》直一切《集韵》《韵会》《正韵》直质切，??音侄。《广韵》次也，常也，序也。《书·尧典》平秩东作。《传》次序东作之事以务农。《舜典》望秩于山川。《传》如其秩次望祭之。　又《增韵》职也，官也，整也。《周礼·天官·官伯》行其秩叙。《注》秩，禄廪也。《疏》谓依班秩受禄。《左传·文六年》委之常秩。《注》常秩，官司之常职。　又《尔雅·释训》秩秩，智也。《注》智虑深长。　又《尔雅·释训》秩秩，淸也。《注》德音淸泠。《诗·大雅》德音秩秩。《笺》敎令淸明也。　又《诗·小雅》秩秩斯干。《注》流行貌。《笺》流出无极巳也。　又《诗·小雅》左右秩秩。《注》秩秩然肃敬也。　又官名。《书·舜典》汝作秩宗。《疏》主郊庙之官，序鬼神尊??。《後汉·百官志》鄕置有秩，三老游徼。《注》有秩，郡所置。秩百石，掌一鄕人。《风俗通》卽田闲大夫，言其官裁有秩耳。　又姓。《字汇》伊秩，复姓。　又十年为一秩。《容斋随笔》白公诗云：已开第七秩，饱食仍安眠。又云：年开第七秩，屈指几多人。是时年六十二，元日诗也。　又《韵会》毛氏曰：从禾，形也。从失，声也。本再生稻，刈而重出，後先相继，故借为秩序字。○按《说文》秩训积也。引《诗》?之秩秩。今《诗》无此句，不取。　又《集韵》弋质切，音逸。《尔雅·释鸟》秩秩，海雉。《注》如雉而黑，在海中山上，施乾读。　又叶徒结切，音迭。《张衡·东京赋》元谋设而隂行，合二九而成谲。登圣皇於天阶，章汉祚之有秩。　又叶直詈切，音致。《何晏·景福殿赋》屯坊列署，三十有二。星居宿??，绮错鳞比。辛壬癸甲，为之名秩。《注》二，而至切。比，毗至切。秩，直詈切。

说文解字

【卷七】【禾部】秩

积也。从禾失声。《诗》曰：“?之秩秩。”直质切

方言集汇

粤语：dit6

客家话：[台湾四县腔] tsiit7 [宝安腔] zit7 [海陆丰腔] zhit7 [客语拼音字汇] zid5 [客英字典] zhit7 [梅县腔] zhit7 [东莞腔] zit7

英语翻译

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线性代数中的秩

定义

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。

可替代的定义

用向量组的秩定义

向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度(列空间是由 A的纵列生成的 F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A的秩为 A的行空间的维度。

用线性映射定义

考虑线性映射：

对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射f，都存在矩阵A使得 f= fA。也就是说，映射

是一个同构映射。所以一个矩阵 A的秩还可定义为fA的像的维度(像与核的讨论参见线性映射)。矩阵 A称为 fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 n减 f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 f的像的维度。

性质

我们假定 A是在域 F上的 m× n矩阵并描述了上述线性映射。

只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射，当且仅当 A有秩 n(在这种情况下，我们称 A有“满列秩”)。 f是满射，当且仅当 A有秩 m(在这种情况下，我们称 A有“满行秩”)。 在方块矩阵A(就是 m= n) 的情况下，则 A是可逆的，当且仅当 A有秩 n(也就是 A有满秩)。 如果 B是任何 n× k矩阵，则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。 即：秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)) 推广到若干个矩阵的情况，就是：秩(A1A2...Am )≤min(秩(A1)，秩(A2)，...秩(Am)) 证明： 考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为 f和 g，则秩(AB)表示复合映射 f·g，它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。然而 Im g是整个空间的一部分，因此它在映射 f作用下的象也是整个空间在映射 f作用下的象的一部分。也就是说映射 Im f·g是Im f的一部分。对矩阵就是：秩(AB)≤秩(A)。 对于另一个不等式：秩(AB)≤秩(B)，考虑 Im g的一组基：（e1，e2，...，en），容易证明（f(e1)，f(e2)，...，f(en)）生成了空间 Im f·g，于是 Im f·g的维度小于等于Im g的维度。对矩阵就是：秩(AB)≤秩(B)。 因此有：秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B))。若干个矩阵的情况证明类似。 作为 "<" 情况的一个例子，考虑积 两个因子都有秩 1，而这个积有秩 0。 可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说 A）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时 A是满秩的。于是有以下性质： 如果 B是秩 n的 n× k矩阵，则 AB有同 A一样的秩。 如果 C是秩 m的 l× m矩阵，则 CA有同 A一样的秩。 A的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。 证明可以通过高斯消去法构造性地给出。

矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数(这就是秩-零化度定理)。

计算

计算矩阵 A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A的行梯阵形式有同 A一样的秩，它的秩就是非零行的数目。

例如考虑 4 × 4 矩阵

我们看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第 4 纵列等于第 1 和第 3 纵列的总和。第1 和第 3 纵列是线性无关的，所以 A的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列 A的行梯阵形式:

它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的，应当使用秩启示(revealing)分解。一个有效的替代者是奇异值分解(SVD)，但还有更少代价的选择，比如有支点(pivoting)的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自 SVD 的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组只要有一个解。在这种情况下，它有精确的一个解，如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则通解有 k个自由参量，这里的 k是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。