词条 | 置换矩阵 |
释义 | 定义设P 是一个 m×n 的 (0,1) 矩阵,如 m≤n且 PP′=E,则称 P为一个 m×n的置换矩阵。其中P′是P的转置矩阵,E是m阶单位方阵。 判定定理定理 1 当 m≦n时,一个 m×n 的(0,1) 矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一个 1,每一列至多一个 1。 置换矩阵在数学中的矩阵论里,置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1,其余的系数都是0。在线性代数中,每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素(n维空间的基)的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时,所得到的是原来矩阵的横行(置换矩阵在左)或纵列(置换矩阵在右)经过置换后得到的矩阵。 严格定义每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设π 为一个n元置换: 给出其映射图: 它对应的n × n的置换矩阵Pπ是:在第i横行只有π(i)位置上系数为1,其余为0。即可以写做: 其中每个表示正则基中的第j个,也就是一个左起第j个元素为1,其余都是0的n元横排数组。 由于单位矩阵是 置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。 性质对两个n元置换π 和 σ的置换矩阵Pπ 和Pσ,有 一个置换矩阵Pπ 必然是正交矩阵(即满足 ), 并且它的逆也是置换矩阵: 用置换矩阵Pπ左乘一个列向量 g所得到的是 g 的系数经过置换后的向量: 用置换矩阵Pπ右乘一个行向量 h 所得到的是 h 的系数经过置换后的向量: 置换矩阵与置换设Sn是n次对称群,由于n置换一共有n! 个,n阶的置换矩阵也有n! 个。这n! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的单位元就是单位矩阵。设A是所有n阶的置换矩阵的集合。映射Sn → A ? GL(n, Z2)是一个群的忠实表示。 对一个置换σ,其对应的置换矩阵Pσ是将单位矩阵的横行进行 σ 置换,或者将单位矩阵的横行进行 σ 置换得到的矩阵。 置换矩阵是双随机矩阵的一种。伯克霍夫-冯·诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合,并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点。 置换矩阵Pσ的迹数等于相应置换σ的不动点的个数。设 a1、a2、……、ak 为其不动点的序号,则ea1、ea2、……、eak 是Pσ的特征向量。 由群论可以知道,每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知,置换矩阵Pσ都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。Pσ的行列式就等于 σ 的符号差。 例子对应于置换π = (1 4 2 5 3)的置换矩阵Pπ 是 给定一个向量 g, 推广置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况: 一个m×n的0-1矩阵 P 是置换矩阵当且仅当 这时一个0-1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1,每一列至多有一个1。 置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1变为一个非零的实数: 一个n阶的方块矩阵 P 是置换矩阵当且仅当其每一行与每一列都恰好只有一个系数不为零。 这时的置换矩阵P可以看做由0和1组成的置换矩阵Q与一个对角矩阵相乘的结果。 |
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