定义(普遍定义)

初中定理

性质

判定

例题讲解

定义

普遍定义

有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形（Rt三角形）。

直角三角形如图

所：把三角形的直角分为两个45度的角，在把30度角也分为两个15度的角，

求：三角形的画法

初中定理

1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理）

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

性质

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（勾股定理)

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。

性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD)^2=BD·DC，

（2）（AB)^2=BD·BC ，

（3）（AC)^2=CD·BC 。等积式

（4）ABXAC=ADXBC (可用面积来证明）(射影定理)

(5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,

(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；

r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)

性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

性质7:如图，1/AB^2+1/AC^2=1/AD^2

性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

判定

直角三角形的判定方法：

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。

判定3：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定4：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定6：在证明直角三角形全等的时候 可以利用HL 两个三角形的斜边长对应相等 以及一个直角边对应相等 可判断两直角三角形全等。

判定7：斜率公式 如果两个函数相交并且k互为负倒数 这个角为90°

附：

1、等腰直角三角形中，两腰为1的话，斜边为根号2。

2、有一个角为30°角的直角三角形中，短直角边为1的话，长直角边为根号3，斜边为2。

例题讲解

如图1，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点

立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，求BC，DE要多长？

解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°

三角形直角定义结论 BC=1/2AB，DE=1/2AD

∴BC=1/2×7.4=3.7m

又AD=1/2AB

∴DE=1/2AD=1/2×3.7=1.85

解题分析：很简单，只要熟记平分线的定义就行了