| 词条 | 芝诺悖论 |
| 释义 | 芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。 基本信息这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的机械论的分歧点。这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。 两分法悖论芝诺：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。 假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2，时间为实际需要时间的1/2+1/4+1/8+......，则时间限制在实际需要时间以内，即此人可以与目的地距离为无限小，却到不了，实际上是这个悖论本身限定了时间，当然到达不了。（如果换为1/10会更容易理解，即时间限制在0.1111111111111111111111111..........以内） 《庄子天下篇》中，庄子提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这是正确的，如此时间将为无穷大，长度为无穷小。 芝诺与庄子悖论的区别为芝诺悖论一定时间内行走的距离不变（即速度不变），而庄子时间不变，这段时间里的工作却越来越少（速度越来越慢），可以看出芝诺限制了时间，而庄子的理论可以使时间为无穷大。 阿基里斯（Achilles）悖论阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！ “乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。” 如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999...=0，但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...>0"思想。 有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。 芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。 类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。 以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。 其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。 飞矢不动悖论设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。 上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。对于这种情况，时刻将是时间的最小单元。假设箭在这样一个时刻中运动了，那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间的不同位置。这说明时刻具有一个起点和一个终点，从而至少包含两部分。但这明显与时刻是时间是的最小单元这一前提相矛盾。因此，即使时刻有持续时间，飞行的箭也不可能在运动。总之，飞矢不动。 箭悖论的标准解决方案如下：箭在每个时刻都不动这一事实不能说明它是静止的。运动与时刻里发生什么无关，而是与时刻间发生什么有关。如果一个物体在相邻时刻在相同的位置，那么我们说它是静止的，反之它就是运动的。 游行队伍悖论首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。 观众席A 队列B ▼▼▼▼队列C B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。 观众席A 队列B……向右移动 ▼▼▼▼队列C……向左移动 而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。 芝诺悖论与实无穷思想现代数学关于芝诺悖论的破解是基于实无穷思想的. 从同一个逻辑前提出发，我们可以得到两个完全相反对的不相容的结论，于是，悖论就产生了.而我们的反驳者，往往不是从这两个自相矛盾的结论中去理解这个悖论之悖，而是简单地用一个结论去否认另一个结论。所谓的已经破解，大都如此。 物体要从A点运动到B点，它必先走过AB之间的中点，我们把这个中点用自然数标志为1，然后我们再把中点1与终点B之间的中点用自然数标志为2，再把中点2与终点B点之间的中点用自然数标志为3，如此可以无限地标志下去.这所有的中点组成一个无穷集合，这个无穷集合中的每一个中点都有着一个唯一的编号.如果物从起点最后到达了终点，那么，它一定走过了这无穷个中点.这就是承认了实无穷思想了.如果我们不承认实无穷思想，按照潜无穷思想，物是决不可能到达终点的.承认实无穷思想，这是我们破解这个悖论的一个基石. 一个方面，按照实无穷观点，这无穷个中点都已经存在了.从起点到达任何一个中点，它之间所要经过的中点都是有限个，因而从起点可以到达任何一个中点.但是，到达了任何一个中点，都不等于到达了所有的中点，因为到达了任何一个中点，在它之后一定还存在着一个暂时没有到达的中点.但是，按照实无穷思想，只要无穷地走下去，这无穷个中点一定可以全部走完的，但是，没有最后一次运动，没有最后一个中点要走.因而按照实无穷思想,这无穷个中点都是可以走过的.无穷个中点既然都已经走过，那么，终点自然也就到达了. 另一个方面，我们可以把除起点与终点之外的这段线上的所有的点组成一个集合，这个集合中的任何一个点与终点之间都必有一个中点存在，因而从这个集合中的任何一个点，都不可能直接地到达终点.我们可以把这个集合当成一个整体，既然从这个集合中每一个点出发都不可能直接到达终点，那么，从这个整体出发，也决不可能直接到达终点.如果从这个整体出发可以到达终点，那么，在这个整体与终点之间至少必须存在着一个点.但是，我们的逻辑前提就是，这个整体与终点之间决不可能再存在着一个点，如此就出现了逻辑矛盾.这个逻辑矛盾宣告了终点不可能走到. 这样，从同一个逻辑前提出发，我们得到了两个完全相反对的不相容的结论，一个结论是，终点可以走到，另一个结论是，终点不可能走到.于是，悖论就产生了.所谓的实无穷思想已经破解了芝诺悖论的结论就这样流产了. 破解芝诺最大的错误在于 1.限制了时间，速度不变，就限制了路程。 2.时间和空间无限分割后仍然有大小，即后来的第二次数学危机：无限小为0还是一个极小的数，结果证明无限小>0（在无限小=0的情况下“飞矢不动悖论”可以成立，但同时也说明这可以证明无限小不为0）。 |
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