正四面体与正三棱锥

基本性质

相关数据(正四面体在解析几何中的一般建系方法)

定义

正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。

它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。

正四面体与正三棱锥

正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面全等且都是等腰三角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形。

基本性质

正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。

正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。

正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。

正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。

正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。

正四面体的对边相互垂直。

化学中CH4,CCl4等分子也呈正四面体状。

相关数据

当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：

高：√6a/3。中心把高分为1:3两部分。

表面积：√3a^2

体积：√2a^3/12

对棱中点的连线段的长：√2a/2

外接球半径：√6a/4，正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。

内切球半径：√6a/12，内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。

棱切球半径：√2a/4.

两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度.

两邻面夹角：2ArcSin(√3/3)=ArcCos(1/3)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43″60571 58335 111，与两条高夹角在数值上互补。

侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3)

正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件：

1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。

2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。

3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。

正四面体在解析几何中的一般建系方法

1.设有一正四面体D-ABC棱长为a

以AB边为y轴A为顶点ABC所属平面为xOy面建系

四个顶点的坐标依次为