如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。

定义

举例

真子集和子集的区别

真子集和子集举例

子集、真子集与非空子集的计算

定义

子集定义：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。

记作： A⊆B（或B⊇A）

读作：“A含于B”（“B包含A”）

而真子集是对于子集来说的

真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素X∈B，且元素X不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集。

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，

若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，注 1 空集是所有集合的子集

2 所有集合都是其本身的子集

3 空集是任何非空集合的真子集

举例

所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集。

所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。

{1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

真子集和子集的区别

子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等

真子集和子集举例

子集比真子集范围大，子集里可以有全集本身，真子集里没有，还有，要注意非空真子集与真子集的区别，前者不包括空集，后者可以有。

比如全集I为{1，2，3}，

它的子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、再加个空集；

而真子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、再加个空集，不包括全集I本身。

非空真子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}，不包括全集I及空集。

设全集I的个数为n，它的子集个数为2的n次方，真子集的个数为2的n次方-1，非空真子集的个数为2的n次方-2。

子集、真子集与非空子集的计算

若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2^n（即2的n次方），且有2^n-1个真子集，2^n-2个非空真子集

证：设元素编号为1, 2, ... n，每个子集对应一个长度为n的二进制数。

规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中，0表示元素 i 不在集合中。

即00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制]

一共有2^n个数，因此对应2^n个子集

去掉11...1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集

比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3

111 <--> {a, b, c} --> 即集合A

110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中

101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中

... ...

001 <--> { , , c}

000 <--> { , , } --> 即空集

命题 1：空集是任意集合的子集。

证明：给定任意集合 A，要证明∅是A 的子集。这要求给出所有∅的元素是A 的元素；但是，∅没有元素。

对有经验的数学家们来说，推论 “∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素”是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为∅没有任何元素，如何使“这些元素”成为别的集合的元素？换一种思维将有所帮助。

为了证明∅不是A 的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A 的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题 2：若 A，B，C是集合，则：

自反性: A⊆ A反对称性: A⊆ B且 B⊆ A当且仅当A= B传递性: 若 A⊆ B且 B⊆ C则 A⊆ C

这个命题说明：对任意集合 S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题 3：若 A，B，C是集合 S的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元： ∅ ⊆ A⊆ S(that ∅ ⊆ Ais Proposition 1 above.)存在并运算: A⊆ A∪B若 A⊆ C且 B⊆ C则 A∪B⊆ C存在交运算: A∩B⊆ A若 C⊆ A且 C⊆ B则 C⊆ A∩B

这个命题说明：表述 "A⊆ B" 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

命题 4: 对任意两个集合 A和 B，下列表述等价：

A⊆ BA∩ B= AA∪ B= BA− B= B′ ⊆ A′