圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。

定义

证明(问题1 问题2 问题3 问题4)

定义

圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

证明

圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）

问题1

相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。

证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。

∴△PAC∽△PDB

∴PA/PD=PC/PB

∴PA·PB=PC·PD

问题2

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD

证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间）

∵ABCD为圆内接四边形

∴∠CAB+∠CDB=180°

又∠CAB+∠PAC=180°

∴∠PAC=∠CDB

∵∠APC公共

∴△APC∽△DPB

∴PA/PD=PC/PB

∴PA·PB=PC·PD

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT^2=PA·PB（切割线定理）

推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）

问题3

过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。

证：以P为原点，设圆的方程为

(x-xO)^2+(y-yO)^2=a①

过P的直线为

x=k1t

y=k2t

则A、B的横坐标是方程

(k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2

即

(k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0

的两个根t1、t2。由韦达定理

t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2)

于是

PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2)

=(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2|

=k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)|

=|(xO^2+yO^2-r^2)|

为定值，证毕。

圆①也可以写成

x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0①′

其中a为圆的半径的平方。所说的定值也就是（原点）与圆心O的距离的平方减去半径的平方。当P在圆外时，这就是自P向圆所引切线（长）的平方。

这定值称为点P到这圆的幂。

在上面证明的过程中，我们以P为原点，这样可以使问题简化。

如果给定点O，未必是原点，要求出P关于圆①的幂（即OP^2-r^2），我们可以设直线AB的方程为

②

③

是 的倾斜角， 表示直线上的点与 的距离．

将②③代入①得

即

， 是它的两个根，所以由韦达定理

④

是定值

④是 关于①的幂（当 是原点时，这个值就是 ）．它也可以写成

④′

即 与圆心 距离的平方减去半径的平方．

当P在圆内时，幂值是负值；P在圆上时，幂为0；P在圆外时，幂为正值，这时幂就是自P向圆所引切线长的平方。

以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用．

问题4

自圆外一点 向圆引割线交圆于 、 两点，又作切线 、 ， 、 为切点， 与 相交于 ，如图8．求证 、 、 成调和数列，即

证：设圆的方程为

⑤

点 的坐标为 ， 的参数方程为

⑥

⑦

其中 是 的倾斜角， 表示直线上的点 与 的距离．

⑥⑦代入⑤得

即

、 是它的两个根，由韦达定理

⑧

另一方面，直线 是圆的切点弦，利用前边的结论， 的方程为

⑦⑧代入得

因此，这个方程的根 满足

⑨

综合⑧⑨，结论成立。

可以证明，当 在圆内时，上述推导及结论仍然成立。

说明：问题4的解决借用了问题3的方法，同时我们也看到了问题4与问题1、问题2的内在联系。