原函数的定义

几何意义和力学意义

原函数的定义

primitive function已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有

dF(x)=f(x)dx，

则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

例：sinx是cosx的原函数。

关于原函数的问题

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

若其存在原函数，那么原函数一共有多少个呢？

我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，

即：F'(x)=f(x)，

则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，

故：若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个.

如果定义在（a,b）上的函数F（x）和f（x）满足条件：对每一x∈（a,b），F′（x）=f（x）?则称F（x）为f（x）的一个原函数。例如，x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的，例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。

几何意义和力学意义

设f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号,下方取负号)是f(x)的一个原函数.若x为时间变量,f(x)为直线运动的物体的速度函数,则f(x)的原函数就是路程函数.