概念

推论

例题

整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r.

如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式（x-a）。反过来，如果f(x)含有因式（x-a），那么，f(a)=0.

概念

当一个多项式 f(x) 除以（ x – a） 时, 所得的 余数等于 f(a).

例如：当 f(x) = x^2; + x + 2 除以 （x – 1） 时,

余数 = f(1) = 1^2; + 1 + 2 = 4

推论

当一个多项式 f(x) 除以 mx – n 时,所得的余数 等于 f(n/m).

例如：求当 9x^2; + 6x – 7 除以 3x + 1 时所得的余数.

设 f(x) = 9x^2; + 6x – 7.

= 1 – 2 – 7=-8

例题

全国港澳台华侨联合招生考试题型

设f(x)以x-1除之，余式为8，以x的平方+x+1除之的余式为7x+16，求x的三次方-1除之的余式为多少?

解：根据题意，得f(1)=8,f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16,

则x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

f(x)=(x^3-1)g(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16=3a+7+16=8

a=-5,所以余式为-5x^2+2x+11