| 词条 | 一般拓扑学 |
| 释义 | 一般拓扑学的定义geoneral topology 用点集的方法研究拓扑不变量的拓扑分支。它的前身是点集拓扑学。 历史起源点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。 主要理论内容泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，更促进了把点集当作空间来研究。数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题。为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念。如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系。1914年F.豪斯道夫开始考虑用“邻域”来定义拓扑。对一个非空的集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组邻域公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）。该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域 。这就给出了X的一个拓扑结构。X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间。X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）。要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可。在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c，d］与[a,b］同胚。二维球面挖去一个点s2－p与欧几里得平面K2同胚。要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射。方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚。一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等（见拓扑空间）。在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；L.S.乌雷松对紧空间进行了系统研究 ，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献 ；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，乌雷松等人加以改进。 图书信息书 名: 一般拓扑学 作 者：J.L.凯莱 出版社： 科学出版社 出版时间： 2010年4月1日 ISBN: 9787030271181 开本： 16开 定价: 48.00元 内容简介《一般拓扑学》是关于一般拓扑的一部经典著作。书中系统地介绍了一般拓扑的基本知识。正文共分七章，包括拓扑空间、Moore-Smith收敛、乘积空间和商空间、嵌入和度量化、紧空间、一致空间、函数空间。此外，还有一章预备知识和一个附录。每章之后有大量问题，作为正文的补充和延伸，有助于读者更好地理解正文的内容。书末由译者加写了一个附录，介绍了早期不分明拓扑学发展的概貌。 《一般拓扑学》正文七章由吴从忻翻译，其余由吴让泉翻译。增添的附录由吴从忻撰写。 《一般拓扑学》可供高等院校数学系师生及有关的专业工作者参考。 图书目录第0章 预备知识 0.1 集 0.2 子集与余集；并与交 0.3 关系 0.4 函数 0.5 序 0.6 代数概念 0.7 实数 0.8 可数集 0.9 基数 0.10 序数 0.11 笛卡儿乘积 0.12 Hausdorff极大原理 第1章 拓扑空间 1.1 拓扑和邻域 1.2 闭集 1.3 聚点 1.4 闭包 1.5 内部和边界 1.6 基和子基 1.7 相对化；分离性 1.8 连通集 问题 第2章 Moore-Smith收敛 2.1 引论 2.2 有向集和网 2.3 子网和聚点 2.4 序列和子序列 2.5* 收敛类 问题 第3章 乘积空间和商空间 3.1 连续函数 3.2 乘积空间 3.3 商空间 问题 第4章 嵌入和度量化 4.1 连续函数的存在 4.2 嵌入到立方体内 4.3 度量和伪度量空间 4.4 度量化 问题 第5章 紧空间 5.1 等价性 5.2 紧性和分离性 5.3 紧空间的乘积 5.4 局部紧空间 5.5 商空间 5.6 紧扩张 5.7 Lebesgue覆盖引理 5.8* 仿紧性 问题 第6章 一致空间 6.1 一致结构和一致拓扑 6.2 一致连续性；乘积一致结构 6.3 度量化 6.4 完备性 6.5 完备扩张 6.6 紧空间 6.7 度量空间特有的性质 问题 第7章 函数空间 7.1 点式收敛 7.2 紧开拓扑和联合连续性 7.3 一致收敛 7.4 在紧集上的一致收敛 7.5 紧性和同等连续性 7.6* 齐-连续性 问题 参考文献 附录A 初等集论 A.1 分类公理图式 A.2 分类公理图式（续） A.3 类的初等代数 A.4 集的存在性 A.5 序偶：关系 A.6 函数 A.7 良序 A.8 序数 A.9 整数 A.10 选择公理 A.11 基数 附录B 译者为本书增添的附录 B.1 不分明拓扑学介绍 B.2 不分明集与不分明点 B.3 不分明拓扑空间 B.4 紧不分明拓扑空间 B.5 不分明连续函数 B.6 乘积与商不分明拓扑空间 B.7 不分明网的Moore-Smith收敛 参考文献 |
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