英文名： convex function（中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。Convex Function在国内的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。）

凹函数是一个定义在某个向量空间的凹子集C（区间）上的实值函数f。

设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有

f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的下(上)凸函数,且凹函数是指上凸函数。

判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数。

一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凸函数。

如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数。

与百度百科凸函数（下凸）对比，这里的凹函数（上凸）应：如果其二阶导数在区间上恒小于等于0，就称为凹函数。如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凹函数。

注：可应用经济学里的边际来理解，边际递减是上凸，即随着X的递增，Y值变化量越来越慢，

边际递增是下凸，即随着X的递增，Y值变化量越来越快。

凹函数性质的证明。设函数f(x)在定义域内连续可导且满足f''(x)>0。

设x1<x2,0<a<1

证明：f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)

因ax1+(1-a)x2-x1=(1-a)(x2-x1)>0

则x1<ax1+(1-a)x2

根据拉格朗日中值定理。

必存在x1<μ< ax1+(1-a)x2

使f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)= (1-a)(x2-x1)f'(μ)

同理。

存在ax1+(1-a)x2<ξ<x2

使f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]= a(x2-x1)f'(ξ)

故a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}=a (1-a)(x2-x1)[f’(μ)- f’(ξ)]

根据拉格朗日中值定理。

有μ<δ<ξ

f'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)

因f''(x)>0

则f'(μ)- f'(ξ)<0

则a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}<0

整理后得f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)

若f''(x)<0结果相反 。