雅克比矩阵定义

雅克比矩阵证明

雅克比矩阵定义

任给一个n维向量X，其范数‖X‖是一个满足下列三个条件的实数：

（1） 对于任意向量X，‖X‖≥0，且‖X‖＝0óX＝0;

（2） 对于任意实数λ及任意向量X，‖λX‖＝｜λ｜‖X‖；

（3） 对于任意向量X和Y，‖X＋Y‖≤‖X‖＋‖Y‖；

对于这样的,叫雅克比矩阵定义。

雅克比矩阵证明

关于这个的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立

证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中

A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成的。利用中值定理可知：

(u+△u,v)-(u,v)=Mdu

(u,v+△v)-(u,v)=Ndv

这里的M，N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。

当变化量很小时，我们把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，

dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv

而其中的M*N刚好就是二维Jacobi行列式的展开形式。

由此问题得证。