谢尔宾斯基数问题

谢尔宾斯基数

关于谢尔宾斯基数的两个难题：

谢尔宾斯基数问题

谢尔宾斯基数问题是处理符合如下形式的数字： N = k * 2^n + 1 (对于奇数 k 和 n > 1) 具有这样形式的数字被称为普罗斯数 (Proth numbers) 。对于一个特定的值 k ， 取任意的 n 都可以使 N 成为一个合数 (Composite numbers) 那么这个 k 就可以称为是一个谢尔宾斯基数 (Sierpinski number) 。谢尔宾斯基问题本身是： “什么是最小的谢尔宾斯基数？” 。

约翰·塞尔弗里奇 (John Selfridge) 40年前曾经证明 k=78557 是一个谢尔宾斯基数。 大多数数学家相信它就是最小的，但这一点还未得到证明。为了证明它，我们所需要做的就是证明每个更小的 k 都不是谢尔宾斯基数——也就是说，要对每一个 k<78557 找到一个 n，使得 N=k*(2^n)+1 是素数。

谢尔宾斯基数

人们在研究费尔马数Fn=2^2^n+1的因子k*2^m+1时，不知道这种形状的素数究竟有多少个，如果将m固定，则k*2^m+1是以2^m为公差的等差级数，根据狄利赫莱定理知，它有无穷多个素数。那么当k固定，数列k*2^m+1是否也有无穷多个素数呢？斯塔克构造了一个数k=2935363331541925531,使得对于任意一个自然数m,k*2^m+1都是合数。早在1960年，波兰数学家谢尔宾斯基一般性地证明了：存在无穷多个正奇数k,使得k*2^m+1都是合数。人们称这样的数k为谢尔宾斯基数。

关于谢尔宾斯基数的两个难题：

围绕这谢尔宾斯基数有两个热门的难题未解决：

（1）是否存在谢尔宾斯基数k,使得对于任何s个素数p1,p2,...ps,都存在一个自然数m,使得k*2^m+1与p1p2...ps互素？

（2）寻找最小的谢尔宾斯基数k0,即，求出最小的正奇数k0，使得k0*2^m+1对于每一个自然数m都是合数。

关于问题（2）有如下一些结论：

1962年数学家赛尔弗利奇发现下面两个重要事实：1。形如78557*2^m+1的数总能被3，5，7，13，19，37，73之一整除，即78557是谢尔宾斯基数；2。对于k<383,必存在形如k*2^m+1素数，即当k<383时，不存在谢尔宾斯基数，这两个结论表明：最小谢尔宾斯基数k0满足：

383=<k0=<78557

1983年，杰斯基在赛尔弗利奇的基础上又作了深入的研究，在小于78557的自然数中寻找到91个谢尔宾斯基数，其中最小的一个是3061，于是，有：383=<k0=<3061

最小谢尔宾斯基数的范围被大大地缩小了。