定义

相关结论

定义

给定向量组A：α1、α2、……、αm和向量β，如果存在一组数λ1、λ2、……、λm使β=λ1α1+λ2α2+……+λmαm，则向量β是向量组A的线性组合，这时称向量β能由向量组A线性表示。

相关结论

1.向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A(α1，α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩阵B=(α1，α2，……，αm，B)的秩。（若R(A)=R(B)=向量组A向量的个数，则向量组B由向量组A线性表示是唯一的；若R(A)=R(B)<向量组A向量的个数，则向量组B由向量组A线性表示不是唯一的；若R(A)≠R(B)，则向量组B不能由向量组A线性表示。）

2.向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。

3.① 一个向量可由向量组中其余向量线性表示，前提是这个向量组线性相关。

②但线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示。

③但当其余向量线性无关时，这个向量必可由其余向量线性表示。

4.零向量可由任一组向量线性表示。

5.向量组α1，α2，α3，……，αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。

6.任一n唯向量α=（α1,α2，……,αm）都可由n唯单位向量组线性表示。

7.设α1，α2，α3，……，αm线性无关，而α1，α2，……，αm，β线性相关，则β可由α1，α2，α3，……，αm线性表示，且表示是唯一的。

证明：如果存在一组数 k1, k2, ···,km,k(m+1) , 使k1 a1+ k2 a2+ ··· + km am + k(m+1) β=0，且k(m+1)≠0，故β=-k1/k(m+1) a1-k2/ k(m+1) a2- ··· -km/k(m+1) am ，即β可由α1，α2，α3，……，αm线性表示。

唯一性：设存在两组数 ε1, ε2, ···,εm、 γ1, γ2, ···,γm，使β=ε1 α1+ε2 α2+ ……+εm αm，β=γ1 α1+γ2 α2+ ……+γm αm，两式相减得0=(ε1- γ1) α1+(ε2-γ2) α2+ ……+(εm-γm) αm，∵α1，α2，α3，……，αm线性无关，故ε1=γ1，ε2= γ2，εm= γm，∴表示是唯一的。