弦长公式概念

公式一

公式二

公式三

弦长公式概念

弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。

PS:圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

公式一

一、引入

直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。考查的主要内容包括：直线与圆锥曲线公共点的个数问题；弦的相关问题（弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等）；对称问题；最值问题、轨迹问题等。

二 、证明

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号

证明方法如下：

假设直线为:Y=kx+b

圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2

假设相交弦为AB，点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2)

则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

把y1=kx1+b.

y2=kx2+b分别带入,

则有：

AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2

=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2

=√1+k^2*│x1-x2│

证明AB=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

的方法也是一样的

证明方法二

d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2

这是两点间距离公式

因为直线

y=kx+b

所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)

将其带入

d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

得到

d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2

=√(1+k^2)(x1-x2)^2

=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2

=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2

公式二

抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚

x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2

x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚

公式三

d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]

关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

d =√[(1+k^2)△/a^2] =√(1+k^2)√(△)/|a|

在知道圆和直线方程求弦长时，可利用方法二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的 b^2：-4ac ，a为二次项系数。

补遗：公式2符合椭圆等圆锥曲线 不光是圆。公式/|a|是在整个平方根运算后再进行的……（先开平方了然后再除）

2式可以由1推出，很简单，由韦达定理，x1+x2=-b/a x1x2=c/a 带入再通分即可……

在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理（点到直线距离、半径、半弦）。