用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。

概述

历史

判断

数项级数的性质

幂级数

泰勒展开式(幂级数展开法 实用幂级数)

Fourier级数(三角级数 洛朗级数)

收敛与发散性质

判别法(积分判别法 比值判别法 根值判别法)

概述

无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。 包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗)级数）。

历史

英国曼彻斯特大学和埃克塞特大学的研究小组指出，印度喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第17位。研究人员说，一个极有说服力的间接证据是，15世纪，印度人曾经将他们的发现告知造访印度的精通数学的耶稣会传教士。“无穷级数”可能最终摆到了牛顿本人的书桌上。

约瑟夫是在通读字迹模糊的印度文字材料时得出这些发现的，他的畅销著作《孔雀之冠：非欧洲的数学之根》(The Crest of the Peacock: the Non-European Roots of Mathematics)的第3版将刊登此次发现，该书由普林斯顿大学出版社负责出版。他说：“现代数学的起源通常被视为欧洲人取得的一项成就，但中世纪(14至16世纪)印度的这些发现却被人们忽视或者遗忘了。17世纪末期，牛顿的工作取得了辉煌的成就。他所做的贡献是不容人们抹杀的，尤其在提到微积分的运算法则时更是如此。但喀拉拉学校的学者——特别是马德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)的名字也同样不能忘记，他们取得的成就足以和牛顿平起平坐，因为正是他们发现了微积分的另一个重要组成部分——无穷级数。”

约瑟夫表示：“喀拉拉学校所做的贡献未能获得世人的承认有很多原因，其中一个最重要的原因便是对非欧洲世界的科学发现漠然视之的态度，这种做法无疑是对欧洲殖民主义在科学领域的一种延续。此外，对于中世纪的喀拉拉语、马拉雅拉姆语等印度当地语言的形态，外人可以说是知之甚少，而诸如《Yuktibhasa》等一些最具有开创性的著作却又偏偏使用了这些语言。《Yuktibhasa》的大部分篇幅都用来阐述产生重要影响的无穷级数。”他指出：“我们真的无法想象，西方社会能够抛弃奉行了500年之久的传统，从印度和伊斯兰世界‘进口’学识和著作。但我们还是发现了强有力的证据，例如，由于当时的欧洲耶稣会士曾造访这一地区，所以他们有很多收集相关信息的机会。更为重要的是，这些耶稣会士不但精通数学，同时也精通当地的语言。

约瑟夫说：“他们之所以这么做实际上有很大的动机：教皇格雷戈里八世组建了一个委员会，专门负责为罗马的儒略历实现现代化。这个委员会的成员包括德国耶稣会士、天文学家兼数学家克拉维乌斯，他曾多次要求获得世界其它地区的人如何打造历法的信息，而喀拉拉学校无疑在这一领域扮演着领导者的角色。”他表示：“类似地，人们对更有效的导航方式的需求也变得越发强烈，包括在探险之旅中如何保持时间的准确性。此外，致力于天文学研究的数学家也可凭借自己的努力获得大奖。因此，欧洲重要的耶稣会研究人员的足迹便开始遍布全世界，以获得相关的知识和信息，而喀拉拉学校的数学家无疑是这一领域的大师。”

判断

如假定有一个无穷数列：

u1,u2,u3,...un,...

其前n项的和为：

sn = u1 + u2 + u3 + ... + un

由此得出另一个无穷数列：

s1,s2,s3,...sn,...

它是由上一个无穷数列的和持续相加造成的。

例如，如果u是任意的：

u1=1，u2=3，u3=5，...un ...

但s不会是任意的，它是和任意数列有逐级加和关系的：

s1=1，s2=4，s3=9，...sn，...

当n无限增加时，sn趋向一个极限

如果极限存在，这个无穷数列就叫做是收敛的无穷级数，如果极限不存在，这个数列就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。

s = u1 + u2 + u3 + ... + un + ...

数项级数的性质

I. 若有一个无穷级数： u1 + u2 + u3 + ... + un + ... 如果每一项乘以一个常数a，则和等于as。 as = au1 + au2 + au3 + ... + aun + ...

II. 收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

s = u1 + u2 + u3 + ... + un + ...和 t = v1 + v2 + v3 + ... + vn + ...则s+t=(u1+v1)+(u2+v2)+(u3+v3)+...+(un+vn)+...

III. 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其收敛性，如： s = u1 + u2 + u3 + ... + u9和s = u15 + u16 + u17 + ... + u50 这两个级数的收敛性是一样的。

IV.收敛级数加括号后形成的新级数也收敛，并且其和就是原级数的和。（注：加括号后收敛的级数，原级数不一定收敛，比如Un=（-1)^n。若加括号后的级数发散，原级数必发散。）

幂级数

一个任意项级数，如果由它的各项的绝对值所得到的级数收敛，则原来的级数也收敛，如果发散，则原来的级数不一定也发散，如果反而是收敛，则称这种级数为条件收敛的。实际上，条件收敛的级数，可以通过变换级数各项的顺序而使得这个级数收敛于任意实数，包括无穷大。

幂级数。以及幂级数的收敛半径和收敛区间。

级数的每一项也可以是函数，这种级数称为函数项级数。

这里我们讨论一种特定的函数项级数，即由如下形式的幂函数组成的级数，称为幂级数。

也可以直接写成。幂级数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k 处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛；反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x都发散。上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。

设对于幂级数的系数，有，其中K为有限数值或者是无穷大。进一步，就有 ，则得到：

（1） 如果K大于0，则在L小于1时，幂级数绝对收敛，而L大于1时，幂级数发散，因此此时幂级数的收敛半径为1/K。

（2） 如果K=0，则对于任意的x幂级数都是绝对收敛的，因为此时L=0，小于1，这时可以认为幂级数的收敛半径为无穷大。

（3） 如果K为无穷大，则幂级数只在x=0处收敛，而取任意非零的数值时，级数都是发散的，因此可以认为幂级数的收敛半径为0。

类似地，也可以根据根值判别法的极限形式，得到相同的结论。求出幂级数的收敛半径以后，即可得到相应的收敛区间和收敛区域。

幂级数的微分，积分，连续性。

对于一个幂级数，如果它的收敛半径大于0，那么在它的收敛区域内，就得到了一个确定的以这个收敛区域为定义域的函数，为这个幂级数的和函数，自然，对于这个和函数也应该能够应用微积分的方法加以研究。

首先是对和函数的求导：

如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在（-r，r）上必定可微，并且导函数为。和函数的可微区间是开区间，因为即使和函数在这个区间的端点可能有定义，这个定理也不能保证和函数在端点处具有可微性。

和函数还具有连续性：如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在其定义域上连续。对于连续性，定理强调的是在它的定义域上，也就是包括有定义的端点。连续性也就意味着可以对幂级数逐项求极限。

泰勒展开式

幂级数展开法

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

实用幂级数

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...(-∞<x<+∞)

ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+... (-1<x ≤1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞<x<+∞)

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<+∞)

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (|x|≤1)

sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<+∞)

cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<+∞)

arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ... (|x|<1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)

Fourier级数

三角级数

(傅立叶级数、三角级数)f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

洛朗级数

洛朗（Laurent）级数复变函数内解析函数的洛朗展开

泰勒级数是洛朗级数的特殊形式

收敛与发散性质

首先我们只是考虑级数的敛散性的问题，也就是存在性问题，而不是如何求极限的问题。关于无穷级数的敛散性，有如下的基本性质：

1．任意改变一个级数的任意有限项的值，都不影响这个级数的敛散性。

原因很显然，只要对一个级数所作的改变是有限的，就不能使得这个级数，由趋向于无穷而变得趋向于有限，也不能使得这个级数由趋向于有限而变得趋向于无穷，或者是由根本不存在任何极限，而变得出现极限。

2．如果任意有限个无穷级数都是收敛的，那么它们任意的线性组合也必定是收敛的。

注意对于都是发散的级数，则不存在类似的结论。

3．在一个收敛级数的各个项之间任意地填加括号，得到一个新的级数，收敛于同样的和。

4．级数收敛的一个必要条件是它的通项以0为极限。

即

收敛。

判别法

正项级数及其敛散性判别法

如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0，则这个级数就是所谓的正项级数。

正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：

正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。

有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。

比较判别法：

（1）一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定收敛。

（2）而如果用来作比较的级数已知是发散的话，在同样条件之下，这个正项级数同样也是发散的。

如果说逐项的比较还有些麻烦的话，可以采用如下的极限形式：对于正项级数

和 ，如果 ，即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值，那么这两个级数具有相同的敛散性。

积分判别法

对于正项级数如果存在一个单调下降连续函数f（x），有f（n）=un，那么级数与广义积分 具有相同的敛散性。

比值判别法

设正项级数从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且如果有，那么这个级数收敛，反之，如果从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且有，则级数发散。同样这种比较也可以采用极限形式：设正项级数从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且如果有，那么当C大于1，则级数发散，当C小于1，则级数收敛，如果等于1，则本判别法无法进行判断。

根值判别法

对于正项级数，如果从某一个确定的项开始，都有 ，则级数收敛，反之，如果从一个确定的项以后，每一项都满足 ，则级数发散。同样这种比较也可以采用极限形式：设正项级数从一个确定的项以后，那么当C大于1，则级数发散，当C小于1，则级数收敛，如果等于1，则本判别法无法进行判断。绝对收敛级数。

实际上针对正项级数的敛散性判别法的有效范围还可以扩大，也就是说，还可以用于判断更多的级数是收敛的。这是通过引入绝对收敛的概念而得到的。

如果我们把一个任意项的级数的每一项都取绝对值，那么就得到了一个正项级数，如果这个正项级数是收敛的，那么这个任意项级数就被称为是绝对收敛的。给出绝对收敛这么一类任意项级数的好处，就在于

一个任意项级数如果是绝对收敛的，那么也就一定是收敛的。

绝对收敛级数不仅具有可以应用针对正项级数的敛散性的判别法的特性，还具有如下的性质：

（1）如果把任意项级数的所有正项都保持不变，而所有负项都更换为0，那么就得到一个正项级数 ；如果把它的所有负项都改变符号，而正项都更换为0，则得到另一个正项级数 ，然后就得到一个任意项级数的绝对收敛的充要条件，为正项级数与都收敛。从这个性质能够得到一个推论，即：如果任意项级数绝对收敛，就有。

作为加法交换律的一个推广，对于正项级数，如果任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性，同样，对于绝对收敛级数也有这样的性质。

（2）对绝对收敛的任意项级数，任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性，并且是收敛于同样的极限。

不只是对于加法的交换律，对于绝对收敛级数的乘积也有性质：

（3）如果两个任意项级数都绝对收敛，那么它们的各项的乘积，按照任意方法排列而得到的级数同样绝对收敛，并且和为两个任意项级数的和的乘积。

考虑一种特别的级数形式，即相邻两项的符号相反，称为交错级数。交错级数具有一个简单的性质：

如果为一个单调递减数列，并且以0为极限，那么通过改变这个数列相邻两项的符号而构造的两个交错级数都收敛。

这种级数称为莱布尼兹级数。