定义

相关领域

简介

定义

微分拓扑是一个处理在微分流形上的可微函数的数学领域。

微分流形除了是拓扑流形外,还有一个微分结构。因此,对于从一个微分流形到另一个微分流形的映射，不仅可以谈论它是否为连续，还可以谈论它是否可微分。

相关领域

很自然地，它是在研究微分方程理论的过程中被提出来的。微分几何是用微积分来研究几何的学问。这些领域非常接近，在物理学，特别在相对论方面有许多的应用。他们合在一起还建立了可从动力系统观点直接研究的、可微流形的几何理论。

微分拓扑虽是不同于代数拓扑的一个独立的数学分支，但它与代数拓扑的关系极为密切。解决微分拓扑问题的许多基本工具，例如同调群、同伦群、拓扑K-理论以及多种示性类等代数不变量都是从代数拓扑中借用过来的。

微分拓扑的奠基人是H.惠特尼，它研究的主要课题有微分同胚、微分浸入、微分嵌入、协边理论等。

微分同胚 微分流形M和N叫做是微分同胚的，如果存在M和N之间的一一对应ƒ:M→N，使得ƒ和它的逆映射ƒ2：N→M都是可微映射。在微分拓扑中,彼此微分同胚的流形被看作是等价的。把等价的微分流形看作属于同一类。对微分流形进行分类是微分拓扑最基本的问题。如果ƒ和ƒ2仅仅是连续的,不一定可微,则M和N叫做是同胚的（亦即拓扑上等价的）。同胚的微分流形未必微分同胚。 微分嵌入 设ƒ:M→N是微分映射，如果ƒ(M)是N的微分子流形，并且ƒ:M→ƒ(M)是微分同胚,则称ƒ为微分嵌入。微分嵌入一定是微分浸入。两个微分嵌入叫做是正则同痕的，如果存在连接它们的正则同伦Ht，使对每一固定的t∈【0,1】，Ht是微分嵌入。

协边 两个n维的紧致无边微分流形M和N叫做是协边的,如果存在一个n+1维的紧致微分流形W，W的边界恰由M和N 组成。把两个协边的微分流形看成属于同一协边类，则按协边关系来分类紧致无边微分流形比按微分同胚来分类它们要粗略，因为任意两个微分同胚的紧致无边微分流形必是协边的。与按微分同胚的精细分类问题至今未能解决形成鲜明对照的是，按协边关系的粗略分类问题虽非容易，但却已彻底解决。二维(或三维)的可定向紧致无边微分流形都是协边的，虽然未必微分同胚。实投影平面与二维球面是不协边的。

简介

研究微分流形和可微映射的一个数学分支。微分流形除了是拓扑流形外,还有一个微分结构。因此,对于从一个微分流形到另一个微分流形的映射，不仅可以谈论它是否为连续，还可以谈论它是否可微分。微分拓扑的奠基人是H.惠特尼，它研究的主要课题有微分同胚、微分浸入、微分嵌入、协边理论等。