简介

概括([高斯的概括])

证明([充分性] [必要性] [威尔逊定理 证明])

简介

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。

即：当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )

但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。

概括

[高斯的概括]

证明

[充分性]

如果“p”不是素数，那么它的正因数必然包含在整数1, 2, 3, 4, … , p − 1 中，因此gcd((p − 1)!, p) > 1，所以我们不可能得到(p − 1)! ≡ −1 (mod p)。

[必要性]

若p是素数,取集合 A={1,2,3,...p -1}; 则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得:

( i j ) ≡ 1 ( mod p )那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况

x^2 ≡ 1 ( mod p )

解得: x ≡ 1 ( mod p ) 或 x ≡ p - 1 ( mod p )

其余两两配对;故而

( p - 1 )! ≡ 1﹡( p -1 ) ≡ -1 ( mod p )若p不是素数 则易知有d = gcd[p,(p − 1)!] = p

故而

( p -1 )! ≡ 0 ( ( mod p))

[威尔逊定理 证明]

若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。

证明如下

法一：

p=2，命题显然成立；

p=3，命题显然成立；

对于奇质数p>=5，令a∈A={2,3,4.....p-2},则B={a,2a,3a,.....,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除，而a|α-β|∈B，B中的元素不可能被p除尽。于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.

假设B中被p除余一的数是γa:

一若γ=1，则γa=a，它被p除余a,又因为a不等于1，所以γ=1不成立；

二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余p-a,又因为a不等于p-1,所以γ=p-1不成立；

三若γ=a，则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p)，故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾，故不成立；

有一二三知γ≠a且a,γ∈A。

a不同时，γ也相异；若a1≠a2, a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p），因，γa1，γa2∈B，而B中的元素关于mod p不同余，可见a1≠a2,则γ1≠γ2。

即A中的每一个a均可找到与其配对的y，γ∈A使ay≡1(mod p)，

又，a不同时，γ也相异。

因此，A中的偶数个（p-3个）元素可以分成(p-3)/2个二元组（a,y）,每个二元组都满足ay≡1(mod p)，

∴ 1×2×3×4....(p-2)≡1(mod p)

p-1≡-1(mod p)

∴ (p-1)!≡-1(mod p)

从而p可整除(p-1)!+1

法二：

对于偶质数2，命题显然成立；

对于奇质数，令a∈A={2,3,4.....p-2},则B={a,2a,3a,.....,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除，而a|α-β|∈B，B中的元素不可能被p除尽。于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.

假设b中被p除余一的数是γa:

一若γ=1，则γa=a，它被p除余a,所以γ=1不成立；

二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余a,所以γ=p-1不成立；

三若γ=a，则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p)，故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾，故不成立；

有一二三知γ≠a且a∈A。

a不同时，γ也相异；若a1≠a2, a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p），因，γa1，γa2∈B，而B中的元素关于mod p不同余，可见a1≠a2,则γ1≠γ2。

依次取a为2,3,...,(p-1)/2;使γa≡1（mod p)的数γ分别为(p-1)/2+1,(p-1)/2+2,...,(p-1)/2,

即2*【(p-1)/2+1】≡3*【(p-1)/2+2】≡4*【(p-1)/2+3】≡...【(p-1)/2】*(p-2)≡1(mod p)

从而2*【(p-1)/2+1】*3*【(p-1)/2+2】*4*【(p-1)/2+3】*...*【(p-1)/2】*(p-2)≡1(mod p)

2*3*4*5*6*...*(p-2)≡1(mod p)

又p-1≡-1(mod p),则

(p-1)!=1*2*3*4*5*...*(p-2)*(p-1)≡-1(mod p)

从而p可整除(p-1)!+1