完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解的重要公式方法。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。

完全平方公式示意图

常见错误

学习方法及例题(一、公式特征 二、运用公式常规四变 三、学会公式运用中三拓展)

注意事项

变形应用

完全平方公式误解

完全平方公式示意图

常见错误

完全平方公式中常见错误有：

①漏下了一次项

②混淆公式

③运算结果中符号错误

④变式应用难于掌握。

(A+B)^2;=a^2+2ab+b^2。

以上两个公式可合并成一个公式：(A±B)^2;=a^2±2ab+b^2。（注意：后面一定是加号）

学习方法及例题

一、公式特征

（一）学会推导公式：

（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性；

（二）学会用文字概述公式的含义:

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

（三）这两个公式的结构特征：

1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；

2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）.

3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．

（四）两个公式的统一：

两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

二、运用公式常规四变

一、变符号：

例1：运用完全平方公式计算：

（1）(2y+3x)^2　（2）3(3x+4y）^2;

分析：本例改变了公式中a、b的符号，

处理

方法一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）

方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算

方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆）。

（二）、变项数：

例2：计算：

分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算。

（三）、变结构

例3：运用公式计算：

（1）(x+y)(2x+2y)

（2）(a+b)(-a-b)

（3）(a-b)(b-a)

分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即

（1）(x+y)(2x+2y）=2(x+y)^2

（2）(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2

（3）(a-b)(b-a)=-(a-b)^2

（四）、简便运算

例4：计算：

（1）999^2

（2）100.1^2

分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。

即：（1）（1000—1）的平方。（2）（100+0.1）的平方

三、学会公式运用中三拓展

当括号内项数超过两项 可将符号相同的项看做一个整体再做运算

如（x+y-z）（x-z+y）

=[（x+y）-z][（x+y）+z]

=（x+y）²-z²

=x²+2xy+y²-z²

1、公式的混用

例5：计算：

（l）（x+y+z）（x+y-z）

（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）

分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算。

即：

（1）（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z][（x+y）-z]=…

（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][2x+（y-3z）]=…

2、公式的变形：熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。

例6：已知实数a、b满足（a+b）2=10，ab=1。

求下列各式的值：

（1）a^2+b^2；（2）(a－b)^2

分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。

即：（1）a^2+b^2=（a+b）^2－2ab=…　（2）(a－b)^2=(a+b)^2－4ab

注意事项

1、左边是一个二项式的完全平方。

2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。

3、不论是（a+b）^2还是（a-b）^2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

变形应用

1. a^2+b^2=(a+b)^2-2ab(已知a+b.ab)

2.(a+b)^2=(a-b)^2+4ab

3.(a-b)^2=(a+b)^2-4ab

4.a^2+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2/2

5.a^2+1/a^2-2=（a-1/a)^2

完全平方公式误解

完全平方公式也叫平方和公式、平方差公式，用字母可以表示为 a+2ab+b=(a+b)a-2ab+b=(a+b)^2其实完全平方公式只有一个：a+2ab+b=(a+b)^2,而后面得所谓的平方差公式只是客观存在的。

虽然﹙﹣b﹚=b但﹣b≠b也就是虽然a+2ab+b(b<0)=a-2ab+b，但﹣b≠b也就是说a-2ab+b=(a-b)严格来说不存在的，按定理来说a+2ab+b=（a-b）不应该说是完全平方公式了。所以a+2ab+(±b)=(a+b)括号中只应该填b,而不是±b,因B的符号与一次项系数的符号应该相同，否则原式就会成为上文所说的客观存在的平方差公式了。