在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。

简介

度量空间的完备性

测度空间的完全性

统计学中的完全性

图论中的完全性

范畴论中的完备性

序理论的完备性

数理逻辑的完备性

计算复杂度中的完备性

简介

完备性也称完全性，可以从多个不同的角度来精确描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域(algebraically closed field)、紧化(compactification)或哥德尔不完备定理。

度量空间的完备性

一个度量空间或一致空间（uniform space）被称为“完备的”，如果其中的任何柯西列都收敛(converges)，请参看完备空间。

在泛函分析(functional analysis)中, 一个拓扑 向量空间(topological vector space)V的子集S被称为是完全的，如果S的扩张(span)在V中是稠密的(dense)。如果V是可分拓扑空间(separable topology space)，那么也可以导出V中的任何向量都可以被写成S中元素的（有限或无限的）线性组合。更特殊地，在希尔伯特空间(Hilbert space))中（或者略一般地，在线性内积空间(inner product space)中），一组标准正交基(orthonormal basis)就是一个完全而且正交的集合。

测度空间的完全性

一个测度空间(measure space)是完全的，如果它的任何零测集(null set)的任何子集都是可测的。请查看完全测度空间(complete measure)。

统计学中的完全性

在统计学中，一个统计量(statistic)被称为完全的，如果它不允许存在0的无偏估计量(estimator)。清查看完备统计量(complete statistic)。

图论中的完全性

在图论(graph theory)中，一个图被称为完全的(complete graph)，如果这个图是无向图，并且任何两个顶点之间都恰有一条边连接。

范畴论中的完备性

在范畴论(category theory)，一个范畴C被称为完备的，如果任何一个从小范畴到C的函子(functor)都有极限(limit)。而它被称为上完备的，如果任何函子都有一个上极限(colimit)。请查看范畴论中的极限定义。

序理论的完备性

在序理论(order theory)和相关的领域中，如格(lattice)和畴(domain theory)中，全序性(completeness)一般是指对于偏序集(partially ordered set)存在某个特定的上确界(suprema)或下确界(infima)。值得特别注意的是，这个概念在特定的情况下也应用于完全布尔代数(complete Boolean algebra)，完全格(complete lattice)和完全偏序(complete partial order)。并且一个有序域(ordered field)被称为完全的，如果它的任何在这个域中有上界的非空子集，都有一个在这个域中的最小上界(least upper bound)；注意这个定义与序理论中的完全有界性(bounded complete)有细小的差别。在同构的意义下，有且仅有一个完全有序域，即实数。

数理逻辑的完备性

在数理逻辑(en:mathematical logic中)，一个理论(theory)被称为完备的，如果对于其语言(language)中的任何一个句子(sentence)S，这个理论包括且仅包括S或S之逆。一个系统是兼容的，如果不存在同时P和非P的证明。哥德尔不完备定理证明了，包含皮亚诺公理(Peano axioms)的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。

在证明论(proof theory)和相关的数理逻辑的领域中，一个形式的演算(calculus)相对于一个特定的逻辑（即相对于它的语义(semantics)）是完备的，如果任何由一组前提Q根据语义导出的陈述P，都可以从这组前提出发利用这个演算语法地(syntactically)导出。形式地说，Q╞P导出Q|-P 。一阶逻辑(First-order logic)在这个意义下是完备的。特别的，所有逻辑的重言式(tautologies)都可以被证明。即使在经典逻辑中，这与前述的完备性是不同的（即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式）。相反的概念被称为可靠性（soundness）。

计算复杂度中的完备性

在计算复杂度理论(computational complexity theory)中，一个问题P对于一个复杂度类C，在某个给定类型的归约下是完全的(complete)，如果P在C中，并且C中的任何问题利用该归约都可以化归到P。例如，NP完全问题(NP-complete)在NP(NP)类和多项式时间(polynomial-time)和多对一归约的意义下是完全的。