定理内容

定理证明

定理的加强与推广(哈德维格尔不等式 佩多不等式)

定理内容

若a,b,c为三角形三边长，S是三角形面积,

则：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S

定理证明

定理证明如下：

由海伦公式，三角形面积可表示为：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2

则：4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

由于三角形任意两边之和大于第三边，所以根号里各项都是正数，

由均值不等式可得：

4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}

=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)

=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2]/(3√3)

≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

即：4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

整理得

a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 证毕。

定理的加强与推广

哈德维格尔不等式

外森比克不等式还可以加强为：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2,

也就是费恩斯列尔·哈德维格尔（Hadwiger Finsler）不等式。

佩多不等式

佩多不等式（Don Pedoe Inequality)是外森比克不等式的推广，其内容为：

如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：

A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(b^2+a^2-c^2)≥16Ff

等式成立当且仅当两个三角形对应边成比例，也就是a / A = b / B = c / C。