定义(外积定义 外积的分配律 外积的分配律证明)

二重向量外积(公式 化简公式以及证明过程)

定义

外积定义

把向量外积定义为：

符号表示：a× b

大小： |a|·|b|·sin<a, b>.

方向：右手定则：若坐标系是满足右手定则的，设z=x×y,|z|=|x||y|*sin<x,y>则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。

外积的坐标表示：

(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)

外积的分配律

a× (b+c) = a ×b +a ×c

分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1）外积的反对称性：

a× b= - b× a.

这由外积的定义是显然的。

2）内积（即数积、点积）的分配律：

a·(b+ c) = a·b+ a·c,

(a+ b)·c= a·c+ b·c.

这由内积的定义a·b= |a|·|b|·cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。

3）混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：

i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。

从而就推出：

ii) (a×b)·c= a·(b×c)

所以我们可以记a,b, c的混合积为(a, b, c).

由i)还可以推出：

iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c,a, b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1 , a2, a3，则a必为零矢量。

外积的分配律证明

下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+ c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b + c))

= (r×a)·(b+ c)

= (r×a)·b+ (r×a)·c

= r·(a×b) + r·(a×c)

= r·(a×b+ a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0

这说明矢量a×(b+ c) - (a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b+ c) - (a×b+ a×c) = 0

所以有

a×(b+ c) = a×b+a×c.

证毕

二重向量外积

公式

向量二重外积公式：a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b)

化简公式以及证明过程

由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：