| 词条 | 椭圆曲线 |
| 释义 | 定义椭圆曲线就是亏格为1的代数曲线。 一条光滑的椭圆曲线可以放在射影平面里看，它的(仿射)标准方程是y^2=x(x-1)(x-t)， 这里t是任意不等于0和1的参数。 作为实曲面看，椭圆曲线就是带有一个洞的闭曲面－－环面。 环面可以通过同向粘合正方形的两对对边得到，其拓扑亏格为1。 椭圆曲线和椭圆函数,椭圆积分等内容密切相关，这里不再详述。 著名的费马大定理的证明也与此有关。总之，椭圆曲线是代数几何中最重要的一类研究对象。 具体介绍椭圆曲线上的点全体构成一个加法群， 点与点之间的“加法”运算，如图所示。 正因为椭圆曲线存在加法结构，所以它包含了很多重要的数论信息。椭圆曲线和它的雅可比簇是同构的，所以它上面的“加法”结构实际上来自于它的雅可比簇的自然加法结构。 椭圆曲线上的有理点的个数也是人们关心的重要问题，这个问题和著名的Mordell-Weil定理有关。 Mordell-Weil定理是说：椭圆曲线上有理点构成的群是有限生成的。 另一方面，椭圆曲线上的整点只有有限多个，这个定理被称为Siegel定理。 通过以下实例，可以更好的理解上述两个定理： 椭圆曲线y^2=x^3+17上，仅有16个整点:(-2,3),(-1,4),(2,5),(4,9),(8,23),(43,282),(52,375),(5234,378661) 以及它们关于x轴的对称点，而其上所有的有理点可以由(-2,3),(2,5)通过群上的加法生成。 Bezout定理告诉我们， 两条光滑椭圆曲线相交于9个点（切点重复计算）。 进一步，如果有第三条光滑椭圆曲线经过其中的8个交点，那它必定经过第九个点。这是古典代数几何中的一个重要的结论。欧拉对此问题也有过考虑。 作为推广，X.诺特（Noether）曾经得到了更一般的代数曲线交点的类似结论。 这个问题和代数曲面上秩2向量丛的半稳定性有着深刻的内在联系。 谈胜利利用秩2向量丛的Bogomolov不等式， 将此问题推广到最一般的情形。 特殊的情形由于椭圆曲线在射影平面中是三次曲线，所以它可以退化为许多特殊的情形： （1）三条直线； （2）一条直线和一条二次曲线（即圆锥曲线，比如椭圆，双曲线，抛物线） 将这些退化情形放到上述的结论中， 我们就得到了许许多多著名的射影几何中的著名定理，比如帕斯卡定理等等。 由此可见椭圆曲线确实是一只“会生金蛋的鸡”。 同名图书图书信息作 者：颜松远 著 出 版 社：大连理工大学出版社 出版时间：2011-5-1 I S B N：9787561161760 页 数：125 开 本：32开 定 价：20.00 元 内容简介颜松远所著的《椭圆曲线》是一本为大学生、研究生、广大数学爱好者以及对椭圆曲线感兴趣的科技人员而写作的一本比较通俗易懂的书籍。我们试图用简单浅显的语言向读者介绍曲折深刻的椭圆曲线理论及其应用。一般来讲，具有中等数学水平的读者，都可以读懂本书大部分的内容(略过有关复杂的数学公式)。全书共分八章。在每章中，如果需要用到一些比较深刻的或读者不太熟悉的概念，如同余、群、环、域、ζ函数、L函数、模形式等，我们都会适时的在适当的地方予以介绍。另外，在每章的章末，都给出了一些思考题和科研题，供读者练习和研习之用。 作者简介江西吉安人，1982年毕业于中国科学技术大学(中国科学院)研究生院(北京)，获理学硕士学位，并获英国York大学数学系数论专业博士学位，曾先后在美国哈佛和MIT、英国York、剑桥、Aston等多所大学工作。长期从事数论、计算理论和密码学等方面的科研与教学工作，在国际著名出版社Springer出版过四种英文专著。 图书目录编写说明 前言 常用符号一览表 一 不定方程 思考与科研题一 二 历史起源 思考与科研题二 三 重要性质 思考与科研题三 四 BSD猜想 思考与科研题四 五 费马定理 思考与科研题五 六 质性判定 思考与科研题六 七 整数分解 思考与科研题七 八 公钥密码 思考与科研题八 参考文献 |
| 随便看 |
百科全书收录4421916条中文百科知识，基本涵盖了大多数领域的百科知识，是一部内容开放、自由的电子版百科全书。