定义

条件数是线性方程组Ax=b的解对b中的误差或不确定度的敏感性的度量。数学定义为矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A-1‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。

从线性代数的分析可知，矩阵的条件数总是大于1.正交矩阵的条件数等于1，奇异矩阵的条件数为无穷大，而病态矩阵的条件数则为比较大的数据。

根据条件数的定义，线性代数方程的相对误差可以通过以下的不等式来分析：

函数

cond(A,1):1范数

cond(A,2)或cond(A):2范数

cond(A,inf):无穷范数

condest(A)用来计算方阵1范数条件数的下界 rcond(A)用来计算矩阵逆的条件数，数值接近1时为良好条件矩阵，接近0时为坏条件矩阵

条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。

比如线性方程组

〔1 2 [x = [4 3.999 1] y] 7.999] 的解是(x,y)=(2,1), 而 〔1 2 [x = [4.001 3.999 1] y] 7.998] 的解是(x,y)=(-3.999,4.000)

可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。 一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。