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词条 特征根法
释义

定义

特征根法是解常系数线性微分方程的一种通用方法。

特征根法也可用于通过数列的递推公式(即差分方程,必须为线性)求通项公式,其本质与微分方程相同。

r*r-p*r-q称为二阶齐次线性差分方程: a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程。

方法

对微分方程:

设特征方程r*r-p*r-q=0两根为r1,r2。

1 若实根r1不等于r2

y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).

2 若实根r1=r2

y=(c1+c2x)*e^(r1x)

3 若有一对共轭复根a±bi

y=e^ax*[c1cos(bx)+c2sin(bx)]

对差分方程:

1 若特征方程有两个不等实根r1,r2则a(n)=c1*r1^n+c2*r2^n

其中常数c1,c2由初始值a(0)=a,a(1)=b唯一确定。

(1) c1r1+c2r2=a;

(2) c1r1^2+c2r2^2=b

2 若特征方程有两个相等实根r1=r2=r

a(n)=(c1+nc2)r^n

其中常数c1,c2由初始值唯一确定。

(1) a=(c1+c2)r

(2) b=(c1+2c2)r^2

3 若特征方程有一对共轭复根a±bi=re^±iφ

a(n)=r^n*[c1cos(nφ)+c2sin(nφ)]

a(0)=c1

a(1)=r*[c1cosφ+c2sinφ]

一类重特征根对方程解的简便解法

对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根λi(i=1,…,r)的重数是ni(≥1),对应的mi个初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此时多项式P(i)j(t)的次数小于等于Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的多项式P(i)j(t)次数的上界,使计算起来更加方便和有效.

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更新时间:2025/2/26 6:41:30