定义

解法

线性递推数列中的特征多项式

定义

要理解特征多项式，首先需要了解一下特征值与特征向量，这些都是联系在一起的：

设A是n阶矩阵，如果数λ和数n为非零列向量x使得关系式

Ax=λx

成立，那么，这样的数λ就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

然后，我们也就可以对关系式进行变换：

(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即

|A-λE|=0

带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。

到此为止，特征多项式的定义表述完毕

解法

1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。

2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。

3、试根法分解因式。

线性递推数列中的特征多项式

除了线性代数中的矩阵，对于常系数线性递推数列， 也存在特征多项式这个概念。而对于k阶常系数线性递推数列a(n+k)=c1a(n+k-1)+c2a(n+k-2)+...+cka(n)

我们也可以将这个数列写成矩阵形式，即

[a(n+1)] [ 0 1 0 ... 0] [a(n)]

[a(n+2)] [ 0 0 1 ... 0] [a(n+1)]

... = [ .... ] ...

[a(n+k)] [ck c(k-1) ... c1] [a(n+k-1)]

在这种意义上，这个线性递归数列的特征多项式将正好是上面公式中矩阵的特征多项式。

同样，如果记上面矩阵为A,我们可以给出这个数列一个线性代数形式的更加优美的公式:

[a(1)]

[a(2)]

a(n)=[1,0,...,0]A^{n-1}* ...

[a(k)]

另外，对于求解线性递推数列，我们还经常使用生成函数法，而对于常系数线性递推数列，其生成函数是一个有理分式，其分母即特征多项式。