公元前３世纪下半叶古希腊科学家阿基米德在论著《群牛问题》中记载了本问题。该问题在1880年由阿姗托尔提供了一种解答，导致二元二次方程t2-du2=1，因d的值达400多万亿，所以完全问题的最小解中牛的总数已超过20多万位的数。可见阿基米德当时未必解出过这个问题，而它的叙述与实际也不符。历史上对这问题的研究丰富了初等数论的内容。

问题的来历

问题的深意

问题的叙述

问题的解决

问题的来历

公元前3世纪下半叶古希腊科学家阿基米德在论著《群牛问题》中记载了本问题。原文用诗句写成：

朋友，如果你自认为还有几分聪明，

请来准确无误地算一算太阳神的牛群，

它们聚集在西西里岛，

分成四群悠闲地品尝青草。

第一群象乳汁一般白洁，

第二群闪耀着乌黑的光泽。

第三群棕黄，

第四群毛色花俏，

每群牛有公有母、有多有少。

先告诉你各群的公牛比例：

白牛数等于棕牛数再加上黑牛数的三分之一又二分之一。

此外，黑牛数为花牛数的四分之一加五分之一，再加上全部棕公牛。

朋友，你还必须牢记花牛数是白牛的六分之一又七分之一

再搭上全部的棕色公牛。

但是，各群的母牛都有不同的比例：

白色的母牛数等于全部黑色公母牛的三分之一又四分之一。

而黑母牛又是全部花牛的四分之一加上五分之一，

请注意，母牛公牛都要算进去。

同样的，花母牛的数字是全部棕牛的五分之一加六分之一。

最后，棕色母牛与全部白牛的六分之一加七分之一相一致。

朋友，若你能确切地告诉我这些公牛母牛膘肥体壮、毛色各异，

一共有多少聚集在那里，

你就不愧为精通算计。

但你还称不上聪明无比，

除非你能回答如下的问题：

把所有的黑白公牛齐集一起，

恰排成正方形，整整齐齐。

辽阔的西西里岛草地，

还有不少公牛在聚集。

当棕色的公牛与花公牛走到一起，

排成一个三角形状。

棕色公牛、花公牛头头在场，

其他的牛没有一头敢往里闯。

朋友，你若能够根据上述条件，

准确说出各种牛的数量，

那你就是胜利者，

你的声誉将如日月永放光芒。

问题的深意

阿基米德的论文向来是以命题的形式来表达的，而这篇的体例不同，它是用诗句写成的。标题是给埃拉托塞尼的信。胡尔奇(Hultsch)曾猜想这是阿基米德“显本领”(tour de force)之作，以此向亚历山大的学者们(特别是阿波罗尼奥斯)挑战。但它的真实性颇值得怀疑，“群牛问题”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已。诗句也未必出自他的手。

问题的叙述

诗的大意是：西西里岛草原上有一大群牛，公牛和母牛各有4种颜色。设W、X、Y、Z分别表示白、黑、黄、花色的公牛数， w、x、y、z分别表示这白、黑、黄、花色的母牛数。

要求有

W=（1/2+1/3）X +Y，

X=（1/4+1/5）Z+Y，

Z=（1/6+1/7）W+Y，

w=（1/3+ 1/4）（X+x），

x=（1/4+1/5）（Z+z），

z=（1/5+1/6）（Y +y），

y=（1/6+1/7）（W+w），

（W+X）为一个正方形（数），

（Y+Z ）为一个三角数（即形如m（m+1）/2的数，m为正整数）。

求各种颜色牛的数目。

倒数第二个条件中的正方形数有两种解释：

一种是W+X=mn，因为要挤成一个正方形，还需要考虑身长与体宽的比，故右端不是任意两个正整数之积mn而是kn^2(k是常数，称为「较简问题」

另一种为W+ X=n^2（完全平方数），即长与宽上牛的数目相等，称为「完全问题」。

问题的解决

“较简问题”已由Jul．Fr．武尔姆(Wurm)解决．“完全问题”在1880年为阿姆托尔(Amthor)所解决。

即使较简问题，牛的总数也已达到5916837175686头之多！

而完全问题导致2元2次方程: t^2-4729494u^2=1。

最小解牛的总数是7.766×10^206544，位数超过20万！当时阿基米德未必解得出来。

而即使没有最后两个条件，群牛问题的最小正数解也达50'389'082。故它的叙述自然与实际不符——西西里岛再大也装不下这么多牛的。但历史上对这问题的研究丰富了初等数论的内容。