概述

历史

定义

证明

其他解释

举例

概述

也称阿基米德性质，它并不是严格意义上的公理，可以由正性公理和完备性公理证明。在欧几里得的几何书中，它仅被描述为一个命题。

历史

其实在历史上，首先是一个希腊数学家“伍多克沙斯”首先公布的，早于阿基米德100年。阿基米德本人也在手稿中坦言了这一点，但是遵从传统，一般称之为“阿基米德公理（性质）”

定义

1：对任一正数c，有自然数n满足n>c.

2：对任一正数ε，有自然数n满足1/n<ε.

（以上两种定义方法是等价的，下面有证明其等价的过程）

证明

阿基米德公理（性质）的证明：（反证法）

首先，设有由 ε=1/c 关联的两个正数c与ε，对自然数n，当且仅当1/c<ε时，n>c.

这样 定义1 当且仅当 定义2 成立时成立。

现在证明定义1：

假设这个性质不成立，即假设有一正数c，不存在于c的自然数.由正性公理可推知：对于任意自然数n，n<=c，此时自然数集N有上界，由完备性公理知N有最小上界，记为b.

因为b是自然数集N的最小上界，则b-1/2不是N的上界，这样，可以选取一个自然数n>b-1/2，因而：

n+1>(b-1/2)+1>b.

所以自然数n+1大于b.这与b是N的上界的选取相矛盾，故假设不成立。

所以，对任一正数c，有自然数n满足n>c.

其他解释

欧几里得的解释：

任意给定两个正实数a、b，必存在正整数n，使na>b。

几何描述：在长短不同的两条线段中，无论较长的线段怎样长，较短的线段怎样短，总可以在较长的线段上连续截取较短的线段，并且截到某一次以后，必出现下面两种情况：

1：没有剩余；

2：得到一条短于较短线段的剩余线段。

举例

例1：

在一条直线上截取任意两条线段A,B。都符合A+A+A+···+A=A·N>B

这就是“阿基米德公理”有时也叫阿基米德-欧多克斯公理，因为阿基米德把这个命题归功于欧多克斯。其实，比欧多克斯更早些，我国古代《墨经》上已记载着“穷，或有前不容尺也”，指的正是这个意思。