一、概述(（一）背景 （二）意义)

二、内容(（一）两分法 （二）阿基里与龟 （三）飞矢不动 （四）一半等于一倍)

一、概述

（一）背景

公元前 5世纪爱利亚学派哲学家芝诺用两论相反的方法提出的论证。为了维护巴门尼德关于“存在”是不动的“一”的学说，芝诺提出了否认运动的一系列论证，其中最著名的有四个，称为“四个悖论”。

（二）意义

在现实生活中我们都可以清清楚楚地知道，奥运会短跑冠军是可以轻松追上在距离上领先自己的乌龟的，哪怕乌龟提前跑上几分钟。但芝诺悖论却告诉我们：门儿都没有，哪怕二者同时出发。这又是为什么呢？

既然在常识世界中不可能发生这样的“怪事”，那问题肯定出在论证上。而这一论证的过程是天衣无缝的，阿喀琉斯追不上乌龟在逻辑上是完全可以成立的。那么问题肯定出在该逻辑推理得以出发的前提上。这个前提是：时间和距离都是无限可分的。而奥妙在于：无限的部分等于无限的全体。由于把时间和距离看成是“一段一段”的，人们不是在度过时间和跑过距离，而是度过一个个时间段及跑过一个个距离段，并且由于时间和距离的无限可分性，一段时间和一段距离无所谓长短（一秒钟、五分钟也好，一公分、一百米也罢）都包含着同样的——无限的——时间段和距离段，于是乎芝诺悖论当然可以成立，阿喀琉斯当然追不上乌龟。因为二者一同起跑，总是会跑过同样的时间段，而乌龟仁兄跑的距离再短，也和阿老弟跑过同样的——无限的——距离断，而要阿喀琉斯追上乌龟则要求他在同样的时间内跑过更多的——比无限还多的——距离断，这当然不可能。

由于常识世界中不可能发生这样的事，理性在这里显得很“矫情”，常识似乎优于理性。然而大大不然。我们在常识世界形成的感性直观告诉我们过直线外一点只能做一条平行线，事实上欧式几何的公理都是在常识上“无可置疑的”，因而才被称为公理。但非欧几何告诉我们这些公理远远谈不上是唯一正确的“公理”，贝氏几何告诉我们平行线可以相交，黎氏（黎曼）几何则根本否认平行线的存在。而爱因斯坦的相对论告诉我们空间恰恰是黎曼空间！而宇宙膨胀的数学模型也告诉我们（现在很少有人再怀疑这一点了），宇宙无论是在足球那么大时还是象现在这么大都是无限的。体积有大小而且可以膨胀的无限！从常识的角度看是多么难以理解啊！但事实的真相如此！而此时我们再想一想芝诺的乌龟给阿老弟的教训，芝诺的先知先觉真是令人震惊！可以说展现了理性无限宏伟的力量（多少有些夸张）！顺便说一句，宇宙是没有中心没有边界的，也就是说我们所看到的红移现象——也就是所有的星系都以我们为中心离我们远去——在宇宙尽头的人们（如果在哪儿有外星人的话）看来同样如此，这一点可以为哈勃望远镜所轻松证实。

由此看来：

1、 人们在常识世界中形成的感性直观是大有问题的，不能成为支撑真理的“阿基米德点”！这很令人震惊，也是现代哲学的出发点之一。

2、 在当代理解无限再也不能靠哲学玄想，只能依靠科学、依靠严密的数学模型，否则就要闹大笑话。

二、内容

（一）两分法

运动着的物体要达到终点，首先必须经过路途的一半，为此它又必须先走完这一半的一半，依此类推，以至无穷。假如承认有运动，这运动着的物体连一个点也不能越过。

（二）阿基里与龟

全希腊跑得最快的阿基里永远追不上慢慢爬行的乌龟。因为，他要追上龟，首先就要到达龟所爬行的出发点，这时龟已经往前爬行了一段；当阿基里跑到龟的第二个出发点时，龟又爬行了一小段，阿基里又得赶上这一小段，以至无穷。阿基里只能无限地接近，但永远不能赶上它。所以，假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的。

（三）飞矢不动

飞着的箭在不同的时间处于不同的位置，甲时在A点，乙时在B点，在连续的时间中，箭相继地静止在一系列的点上。既然是在某一点上，怎么能运动呢？运动实际上是一系列静止的总和。

（四）一半等于一倍

假定有三列物体，A列静止不动，B列与C列以相等的速度按相反方向运动（见图1）。当 B1通过A3，越过两个位置，到达与 A4并列的位置时，由于C列是按相反方向同速运动的，所以 B1在相同的时间里已通过C列的4个位置了(见图2)。B越过C列物体的数目，要比它越过A列物体的数目多一倍。因此，它用来越过C的时间要比它用来越过A的时间长一倍。但是B和C用来走到A的位置的时间却相等。一半的时间等于一倍的时间。因此说一半等于一倍。

A1　A2　A3　A4

B4　B3　B2　B1→

←C1　C2　C3　C4

图 1

A1　A2　A3　A4

B4　B3　B2　B1→

←C1　C2　C3　C4

图 2

这四个悖论的结论是错误的，是形而上学的，但悖论本身在认识史、辩证法史、逻辑史和科学史上却有重要地位。这四个悖论涉及到运动和时间、空间的关系以及极限和无限分割的问题，还接触到运动本身存在连续性与非连续性的矛盾，所以历来受到科学家和哲学家的重视。