四垂心共线(引理 定理 证明)

四垂心共线特殊情形(情形1 情形2 情形3)

四垂心共线

作者:夏培贵

引理

如图 1（1）、（2），若AD∥BE，BD∥CE，且AD/BE=BD/CE，则A、B、C三点共线。 这不会有异议，就免去论证。

定理

完全四边形中的四个三角形的垂心在同一条直线上。

证明

如图 2（1）、（2）、（3），设完全四边形ABCDEF中，△BCE、△ABF、△ADE、△DCF的垂心线依次为H1、H2、H3、H4；CH1交BH2、EH3于M、P；CH4交FH2、DH3于N、Q。由条件易知BH2∥EH3∥CH4，CH1∥FH2∥DH3，BH1∥AH3∥FH4，EH1∥AH2∥DH4。从而△BMC∽△CNF，△BH1M∽△H4FN。∴ BM/CN=MC/NF， BM/NH4=MH1/NF。

∴ NH4·MH1=CN·MC（=BM·NF）。

∴ MH1/MC=CN/NH4。

∵ MC=NH2，CN=MH2，

∴ MH1/NH2=MH2/NH4。

而MH1∥NH2，MH2∥NH4。根据引理：

H1、H2、H4共线，H2在直线H1H4上。 （一）

又 △EPC∽△CQD，△EPH1∽△H4QD。

∴ CP/DQ=EP/CQ， PH1/DQ=EP/QH4。

∴ PH1·QH4=CP·CQ（=DQ·EP）。

∴ PH1/CP=CQ/QH4。

∵ CP=QH3，CQ=PH3，

∴ PH1/QH3=PH3/QH4。

而PH1∥QH3，PH3∥QH4。根据引理：

H1、H3、H4共线，H3在直线H1H4上。 （二）

由（一）和（二）可知：H1、H2、H3、H4共线。

四垂心共线特殊情形

情形1

当AE⊥BF、AF⊥DE时，如图3，H1、H2重合于D，B、D两点当然在同一条直线上。

情形2

当∠A为直角时，如图4，H2、H3重合于A，可仿前面结论（一）的证法证明H1、A、H4在同一条直线上。

情形3

当BF⊥DE时，如图5，H1、H4重合于C。由条件易知AH2∥EK，AH3∥FG，且四边形AGCK有三个直角，故为矩形。

证明：

由∠1=∠α=∠2，∠BGH2=∠DKA=90°及∠3=∠β=∠4，∠AGB=∠H3KD=90°，可知△BGH2∽△DKA及△ABG∽△H3DK。

∴ GH2/AK=BG/DK，AG/KH3=BG/DK。

∴ GH2/AK=AG/KH3。

∵ AK=GC，AG=KC，

∴ GH2/GC=KC/KH3，即 GH2/KC=GC/KH3。

而GH2∥KC，GC∥KH3。根据引理：

H2、C、H3共线。

综上所述可得：完全四边形中的四个三角形的垂心在同一条直线上。