王宝鑫著

简介与特色

本书是运用科学思维开启数学教学，把数学思想同数学知识同时传承给广大读者的论述。

人的思维是创建全部人类文化的内在核心过程，而数学文化是人类文化的主要组成部分。作为研究思维的学科所获得之逻辑（形式的，辩证的）形式、规律和方法是普遍有效的，所以本书运用相应的科学思维理论，剖析数学文化成果内蕴含的逻辑与建构它的思维过程。这样才能保证认识活动的科学性和正确性。才能为促进解决好丁石孙副委员长指出的“使每个人都受到良好的数学教育”这一“世界性问题”发挥切实作用。

具体到传统的数学教材，其内容基本上是按数学内容逻辑演绎的体系和知识点的积累编排的。把它作为“事实性知识”的载体，运用科学逻辑思维来分析传统教材的内容，能为优化数学教学而选择教学方案提供依据，能把数学教学变成活生生的思维教学活动。对教材中“显写”的各种概念、命题（公理、定理、公式）等，本书依据形象思维、逻辑思维（形式的、辩证的）、灵感思维、数学史事实及笔者的独到之处，突出形象思维是创新思维，充分展示从客观实体或现实原型类科学抽象（弱、强、广义）生成概念的过程；展示通过“定量思维”建构“数学模式”与“模式的模式”的过程；运用归纳、演绎、类比、分析、综合等逻辑方法探讨解证问题的思路，探索数学结论形成的推导过程；并提供典型案例以便于模仿学习。与此同时还揭示和点拨出在教材中“隐”写的逻辑规则和方法，从而发掘出数学思想及模式间的逻辑关系。多年教学实践证明，运用科学思维开启数学教学，既能使广大读者获得必要的逻辑知识，又能从科学思维的高度深刻理解数学知识的来龙去脉。因为“展示典型的数学发现的思维过程，最能激发人自由创造的本能”，显然读者能获得“终生有用的数学思想”，对提高数学素质和创新能力，无疑能起到夯基固本的良好作用。

本书的特色：运用形象思维、逻辑思维、灵感思维、非逻辑思维等科学思维既有的形式、规律和方法，以及作者独到之处，剖析传统数学教材的事实性数学知识形成的思维过程，把数学教学优化为运用科学思维开启数学教学，为广大读者能获得“终生有用的数学思想”，提高数学素质和创新思维能力作些贡献。

前沿性：本书所论及的是国内外古今数学教育界关注的问题。我国古代只是“理寓于算”，国外古代一些数学结果，并没说证明过程。当亚里士多德创立了形式逻辑之后，才出现了欧几里得的“证明数学”。但古形式逻辑中只是引用数学例子，而几何原本也没有显写应用的逻辑规律。本书是将研究思维的各学科既有逻辑思维的形式、规律和方法选择运用于数学研究、数学教学与数学学习，展示“事实性数学知识”生成的思维过程。读者在接受逻辑思维训练的同时，以逻辑思维的高度深刻理解数学知识。把“数学难学”的心理障碍解除，获得终生有用的数学思想，解决前人未解决的问题。

交叉性：本书是各研究思维的学科、数学学科、教育学科等多学科的交叉与渗透。

理论与实践相结合：将具有普遍有效性的逻辑（形式的，辩证的）形式、规律和方法运用于分析数学教材,优化数学教学。积四十年教学实践与科研成果，花十春秋整合笔耕在《思维于数学》。敬献人间。

本书是中学生、中专生和高校学生学习数学的辅导书，也是供中学、中专和高校数学教师的参考书。更是广大数学工作者和数学爱好者爱不释手的书。

温家宝总理箴言“我上学时最大的收获在于逻辑思维训练，至今受益不浅”。

无论是学文的还是学理的，选读此书都能受益匪浅。中学不开逻辑课，中学数学教学肩负着逻辑思维训练的重任。本书所写的中学代数篇、中学几何篇，既是为中学生和中专生所写，也是为老师们提供数学教学参考；本书所写的空间解析几何篇、高等代数篇，特别是数学分析（微积分）篇，既是为高校学生初学者所写，也是为老师们提供数学教学参考。尤其想到边远地区、山区和老区艰苦奋斗的广大师生，笔者有亲身经历。所以要“无悔一腔血，教化众苍生”，在有条件时，将敬献给他们。

附：全书内容篇目：导论篇；中学代数篇；中学几何篇；空间解析几何篇；数学分析（微积分）篇；高等代数篇;线性代数篇；概率篇；实分析篇；复分析篇。

导论篇 目录·提纲

第一章 数学教研需要科学思维

§1.1 思维·科学思维的功能

一．间接反映论和建构操作论的思维观

二．凡研究思维各学科既有理论和方法，都可以综合运用于数学活动。

三．思维是创建全部人类文化的内在核心过程

四．数学文化的内部结构着创造它的数学思维

§1.2将科学思维理论和方法运用于数学教学与研究，更是国内外数学教育的需要。

一．文化、识性文化、数学文化

二．数学思维的影响和作用

三．数学教学是一种认识活动，科学思维能保证它的科学性和正确性

§1.3主体思维活动的三种基本方法

一．形象思维方法选择介绍

二．形式思维·形式逻辑方法择要介绍

辩证思维·辩证逻辑方法择要介绍

三．灵感思维·非逻辑思维

四．形象思维、逻辑思维、灵感思维之间的关系

五．既有数学方法的选择与整合

第二章 漫长的人类思维发展时期是初等数学主体形成阶段

§2.1 漫长的人类思维产生发展，萌芽数学很费时的产生发展

一．只有从劳动及其作用出发，才能揭示人类历史之谜，解开思维形成之谜

二．从原始人到公元前6世纪———萌芽数学阶段

三．评述萌芽数学状况

§2.2 传统演绎逻辑·证明数学

一．人类思维有内容、形式和规律，逻辑学是研究思维的学科。

二．传统演绎逻辑创立，证明数学形成

§2.3 传统形式逻辑完善，初等数学主体形成

一．古代中国是逻辑学发源地之一，中国数学成就灿烂辉煌

二．古代印度产生逻辑学“因明”

三．阿拉伯数学

四．欧洲文艺复兴

§2.4数理逻辑为变量数学与现代数学提供了逻辑分析方法

一．莱比尼茨创始数理逻辑把逻辑数学化

二．微积分出现具有划时代意义

三．数理逻辑的创建为变量数学和现代数学提供逻辑分析方法和条件

§2.5 第三次数学危机待获解决，数学与逻辑相互推进发展

一．罗素悖论

二．数学与逻辑相互推进发展

第三章 数学教学要把数学思想教给受教育者

一．教育与数学教育

二．数学教育具有素质教育功能

1．人的素质

2．素质教育

3．数学素质

4．实施数学素质教育的操作功能

5．数学教学本身是一门学术性事业

第四章 反思古代中西数学教育观

一 、中国古代数学教育的三大特色

二、古希腊的数学教育凸现思维

数学分析篇（微积分篇）目录·提纲

前言

“数学分析是人类思维的伟大成果之一”，“是技术上的最成功和数学中的最精彩部分”（R. 柯朗）。数学分析的知识体系是一个理性思辨系统，是在形式逻辑思维的基础上彻底的辩证逻辑思维的体现，更是现代科学思维方法群的运用及丰富。

形式逻辑，辩证逻辑和现代科学思维方法群，都是研究思维的科学。恩格斯曾经指出：逻辑是“关于思维过程本身的规律的学说”，“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的应用”（恩格斯，反杜林论，人民出版社，1970年，P132）。所以，运用思维科学的形式、规律和方法，揭示数学分析的主要知识内容生成的思维过程和解证问题的思维过程，帮助读者提高辩证思维能力，就能克服读者认为“数学分析难学，其方法不易掌握”的心理压力。因为在认识活动中，只有遵循科学的思维方法，才能保证认识的科学性、正确性，而思维方法又是人类认识世界的中介系统，是保证认识活动正确进行的规则、线路和手段。辩证思维方法和现代科学思维方法又是现代思维方法中最重要的组成部分，所以运用形象思维、逻辑（形式、辩证）思维、灵感思维、现代科学思维方法及笔者所具独到之处，开启数学分析教学和科研活动，是数学分析教学的需要，是必要的，也是可能的。通过多年的教学和科研的实践证明是有效的，是能化难为易，把数学分析教学优化为思维于数学教学活动。

本篇采用按数学分析教学大纲要求的知识内容和解证问题的配置为“事实性”知识载体，阐述如何运用科学思维形式、规律和方法揭示概念、公理、定理、公式等结论形成的思维过程，突出如何把客观实体或原型和实践中的问题化为数学问题，侧重展示怎样从量与形方面进行科学抽象的思维过程，以及探讨解证问题思路的思维过程，并注重培养读者的探讨、分析、发现、创新能力，为造就创新人才，做些夯 基固本的贡献。

关于传承与创新的关系，大家都知道，传承是创造的基础。任何创造活动都不能凭空进行。如果对前人已经表述过的成果一无所知，又怎能超越前人进行新的创造呢？

美国著名哲学家托马斯·科恩主张，在以认同和继承传统为特征的“收敛式思维”与以批判、超越传统为特征的“发散式思维”之间建立“必要张力”。这是一深远的见解。（中国教育报，2000年11月15日俞吾金，复旦大学哲学系）。数学分析既然是人类思维的伟大成果之一，是技术上最成功和数学中的最精彩部分，后人就必须很好的认同和继承，就需要运用科学思维的形式、规律和方法，特别是客观辩证法和主观辩证法，揭示数学分析这张有许许多多的概念为“纽结”，而连接编织起来的“思维之网”是如何形成的，既要明确所学概念属于哪一层次，与已知的概念和命题是什么关系，又要明确获得概念与命题的思维过程中采用了哪些逻辑规律和方法。从而引导读者进行有意义的学习，也为选择教学方法提供理论依据。

更应当强调的是数学分析这门基础课，它是代数学、几何学、分析学三大领域中分析学的基础，它是沟通形与数且涉及极限运算的部分，它研究的是连续量，它提供给读者的是一个连续的演算系统及数学理论，它有别于读者从中学到大学高等代数离散量的演算。

虽然它的内容丰富多彩，但学习它入门很感困难，有的称之为“大头分析”，这是凾待解决的问题，是一个实实在在的课题。要启发读者主动去思考那些数学成果是怎样想出来的；不仅要读者学会证明的固定程序，更要明白其证明机理。鉴于此，就必须运用科学思维方法这套钥匙，去打开数学分析这座宝库的一道道门槛。