内容

证明

应用

几何学中，斯图尔特定理表示了一个三角形中切氏线（cevian），连结一个顶点和对边上任意一点的线段）的长度和三角形三边长的关系。它由苏格兰数学家Matthew Stewart在1746年发表，故名。

内容

如图，设a，b和 c是三角形的边长，d是切氏线的长度；该线段将a边分为长度为m和n的两段。那么，Stewart定理说明

mb^2+nc^2=a(d^2+mn).

阿波罗尼乌斯定理（Apollonius' theorem）是它的一种特殊情况，d是三角形的中线。

证明

设θ是m和d的夹角，θ'是n和d的夹角。θ+θ'=π，cos θ′ = −cos θ。那么，根据余弦定理：

c^2=m^2+d^2-2mdcosθ，

b^2=n^2+d^2-2ndcosθ'=n^2+d^2+2ndcosθ；

第一式两边乘以n，第二式两边乘以m，相加消去参数θ，即得

mb^2+nc^2=nm^2+mn^2+(m+n)d^2=a(d^2+mn)。

应用

本定理可以用于各种三角形内切氏线的求长，而无论其位置。取定理的特殊情况，即可轻易求出三角形的中线长、高线长、角平分线长。