级数应用(数项级数 函数项级数)

积分应用(反常积分 含参变量积分)

阿贝尔（Abel）判别法是分析学中一条十分重要的判定法则，与狄利克雷（Dirichlet）判别法合称为A-D判别法。主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。

级数应用

数项级数

若数列 {an} 单调有界，级数 Σ(n=1,∞) bn 收敛，则任意项数项级数 Σ(n=1,∞) (an×bn) 收敛

函数项级数

若函数列 {an(x)} 对于每一个固定的x∈D关于n单调，且函数列 {an(x)} 在D上一致有界，即 存在M>0，使得│an(x)│≤M (x∈D，n∈N)；同时，函数项级数 Σ(n=1,∞) bn(x) 在D上一致收敛，则函数项级数 Σ(n=1,∞) [an(x)×bn(x)] (x∈D) 在D上一致收敛

积分应用

反常积分

无穷限反常积分：若∫(a,+∞) f(x)dx收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则反常积分∫(a,+∞) f(x)g(x)dx收敛

无界函数反常积分：若∫(a,b) f(x)dx收敛，g(x)在[a,b)上单调有界，则反常积分∫(a,b) f(x)g(x)dx收敛

含参变量积分

若(1)、∫(a,+∞) f(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛；(2)、g(x,y)关于x单调，即 对于每一个固定的y∈[c,d]，g(x,y)是x的单调函数；(3)、g(x,y)一致有界，即 存在M>0，使得│g(x,y)│≤M (a≤x<+∞，y∈[c,d])。则含参变量的反常积分∫(a,+∞) f(x,y)g(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛