分解形如ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f 的二次六项式 在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

适用状况(例子)

双十字相乘的迁移(分解二次五项式 分解四次五项式)

简单方法(因式分解法 求根法)

基本介绍

适用状况

双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax^2;+Bxy+Cy^2;+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题,若采用“双十字相乘法”,就能很容易将此类型的多项式分解因式。

例子

例：3x^2;+5xy－2y^2;+x+9y－4=（x+2y－1）（3x－y+4）

因为3=1×3，－2=2×（－1），－4=（－1）×4，

而1×（－1）+3×2=5，2×4+（－1）（－1）=9，1×4+3×（－1）=1

双十字相乘的迁移

分解二次五项式

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

例：ab+b^2+a－b－2

=0×1×a^2+ab+b^2+a－b－2

=（0×a+b+1）（a+b－2）

=（b+1）（a+b－2）

分解四次五项式

提示：设x^2=y，用拆项法把cx^2拆成mx^2与ny之和。

例：2x^4+13x^3+20x^2+11x+2

=2y^2+13xy+15x^2+5y+11x+2

=（2y+3x+1）（y+5x+2）

=(2x^2+3x+1）（x^2+5x+2）

=（x+1）(2x+1)（x^2+5x+2）

简单方法

因式分解法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x^2-(5+7y)x-(22y^2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y^2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y^2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax^2+bxy+cy^2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

求根法

我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如

f(x)=x^2-3x+2，g(x)=x^5+x^2+6，…，

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)^2-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．