双曲型偏微分方程是描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程。

定义

波动方程

偏微分方程(简介 起源 弦振动方程)

双曲型方程解法及相关问题类型(特征超曲面及次特征线 双曲型方程柯西问题 混合初-边值问题)

定义

双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equations）：描述振动或波动现象的偏微分方程。它的一个典型特例是波动方程和n=1时的波动方程。可用来描述弦的微小横振动，称为弦振动方程。这是最早得到系统研究的一个偏微分方程。

波动方程

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：

{ \\partial^2 u \\over \\partial t^2 } = c^2 \abla^2u

这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率（对于空气中的声波大约是330米/秒，参看音速）。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：

v_\\mathrm = \\frac{\\omega}.

注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子（对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负）。

u = u(x,t），是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。\abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。

对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的：u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意函数，分别对应于前进行波，和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件：

u(x,0)=f(x)

u_{,t}(x,0)=g(x)

这样达朗贝尔公式变成了：

u(x,t) = \\frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + \\frac \\int_^{x+ct} g(s) ds

在经典的意义下，如果f(x) \\in C^k并且g(x) \\in C^则u(t,x) \\in C^k.

一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :

这里u (x）测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：

m{\\partial^2u(x+h,t) \\over \\partial t^2}= kLINK

其中u(x）的时间依赖性变成显式的了。

偏微分方程

简介

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

起源

微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

弦振动方程

描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程。它的一个典型特例是波动方程n=1时的波动方程可用来描述弦的微小横振动，称为弦振动方程。这是最早得到系统研究的一个偏微分方程。它的解具有十分简单的结构，即总可表为一个右传播波和一个左传播波的叠加u=F(x－t)+G(x+t）。因此，给定弦的初始位移和速度就可得到柯西问题（2）、（3）的解的表达式称为达朗贝尔公式。利用分离变量法，将弦的振动分解为基音和泛音的叠加，还可以求解诸如两端固定弦的振动等问题。波动方程可用来描述膜的横振动（n=2）以及弹性体的振动和声波、电磁波等的传播（n=3），在应用上十分重要。在波动方程的研究中，特征锥面(n=1时为特征线：x±t=常数）在求解及刻画解的性质等方面都起着重要的作用。利用二维与三维波动方程柯西问题的解的表达式（泊松公式），可以看到二维与三维的波动在性质上有很大的不同。三维波动的传播无后效，这对现实世界中信号的传送与接收有重要的意义，而二维波动却具有后效现象。

对一般的二阶线性偏微分方程式中系数及右端项ƒ均设为的适当光滑的函数，如果对任一（t,x），由方程（4）的主部所决定的特征方程对任何都有两个相异的实根（称为特征根）λ=λ1(t,x，ξ）及λ=λ2(t,x，ξ），则称方程（4）对t方向为双曲型方程，简称双曲型方程。如果这两个相异实根能被一致地分隔开来，即成立则称（4）为正规双曲型方程。波动方程（1）就是一个正规双曲型方程。

双曲型方程解法及相关问题类型

特征超曲面及次特征线

在求解双曲型方程或研究其解的性质时，特征超曲面及次特征线起着重要的作用。一个超曲面S:φ(t,x)=0，如果在其上成立就称它是方程（4）的一个特征超曲面。对于双曲型方程，任一特征超曲面均由次特征线组成，而次特征线t=t(τ),x=x(τ）由下述常微分方程组满足附加条件（5）的解所给出。由过一点p(t0，x0）的一切次特征线所构成的特征超曲面，称为以p为顶点的特征劈锥面，连同其内部称为特征劈锥体，它们由位于t≥t0及t≤t0的前向及后向两部分组成。过p点指向此劈锥面内部的任一方向，称为此点的类时方向；一个处处和类时方向相切的曲线称为类时曲线。以P为顶点的特征劈锥面内部的任一点，都可用类时曲线与p点相连。在p点将劈锥的前后两部分隔开来的任一超曲面元素，称为类空元素；处处和类空元素相切的超曲面称为类空超曲面。对方程（4），超平面t为常数就是一个类空超曲面。对波动方程（1），次特征线都是直线，而以p(t0,x0）为顶点的特征劈锥面就是特征锥面.

此时t轴恰为一个类时曲线。在方程（4）的主部的系数有界时，以任何点为顶点的特征劈锥面，都可包含在以此点为顶点的一个固定大小的圆锥中。解的弱间断面一定是特征超曲面，因此，在波的传播中，特征超曲面可用来表示波前，即作为已受扰动与未受扰动的区域的分界面，而任何扰动都沿着次特征线传播。这里，扰动沿次特征线传播的性质，充分体现了一般情形下线性偏微分方程的解的奇性传播的特点。在光学中，次特征线就是光线，沿着它们积分一些常微分方程，在高频振动的情况下，可得到精确解的渐近展开式。这一方法称为几何光学近似。它将波动光学和几何光学联系起来，并为傅里叶积分算子提供了一个雏型。

对双曲型方程（4），常见的定解问题是柯西问题或称初值问题：求方程（4）在t>0时的解u=u(t,x），使它满足如下的初始条件 t=0: u= u0(x），式中u0(x）及u1(x）为给定的适当光滑的函数。一般地说，柯西问题的初始资料可以给在任一类空超曲面上。对于正规双曲型方程，其柯西问题是在阿达马意义下适定的，即其解存在、惟一并以某种方式连续地依赖于初始资料。不仅如此，柯西问题（4）、（6）的解u在一点p(t0,x0)(t0>0）之值，只依赖于以p点为顶点的后向特征劈锥体与初始超平面t=0交截所得的区域Gp上的初始资料，而和Gp外的初始资料无关。Gp称为点p的依赖区域。依赖区域的有界性反映了波动以有限速度传播的事实，是双曲型方程所具有的一个本质的特点。相应地，初始资料在t=0上一点p0的一个邻域中的扰动，仅影响到解在以p0为顶点的前向特征劈锥体的一个邻域中的数值。这个前向特征劈锥体称为p0点的影响区域。在特殊的情形下（例如对n>1为奇数时的波动方程（1）），解u在p(t0,x0）点的值仅依赖于初始资料在Gp的边界的一个任意小的邻域中的值，而p0 点的影响区域仅是过 p0点的前向特征劈锥面。此时，波的传播有清晰的阵面，不会出现波的弥散，称为成立惠更斯原理。对n为偶数的波动方程（1），惠更斯原理不成立。然而，不论在哪一种情形，由于解的奇性（不连续性）沿着次特征线传播，在t=0上一点p0处初始资料的奇性仅通过以p0为顶点的前向特征劈锥面传播出去，或者说，解在p(t0,x0）点的光滑性仅依赖于初始资料在Gp边界的一个任意小的邻域中的光滑性。这个事实，称为广义的惠更斯原理。

双曲型方程柯西问题

双曲型方程柯西问题的现代理论，是由J.（-S.）阿达马对二阶双曲型方程柯西问题的先驱工作开始的。他通过构造在特征劈锥面上具有奇性的解（基本解）来求解柯西问题，并采用求发散积分的有限部分的方法来克服所遇到的奇性困难。他的工作经过M.里斯及С.Л.索伯列夫等人的发展，对广义函数论的建立是一个重要的推动，而阿达马的方法在广义函数论的框架中也得到了更清晰和完善的表达。

证明柯西问题适定性的一个比较简便的方法是能量积分法。所谓能量积分，就是在x空间中由解及其若干阶偏导数所组成的正定的积分。在一些常见的波动现象中，利用波在传播中的能量守恒律，可以知道某些能量积分是不随时间t变化的常数。对一般的二阶双曲型方程（4），也能在一个包含特征劈锥面的适当大的圆锥中建立有关能量积分的一些估计式，称为能量不等式。由此不仅可以证明柯西问题解的惟一性及对初始资料的连续依赖性，还可以证明解的存在性及正规性。为此，自然地采用了泛函分析的框架，并要利用索伯列夫空间的理论。

混合初-边值问题

除柯西问题外，另一类重要的定解问题是混合初-边值问题，简称混合问题，即要求方程（4）的一个解 u(t,x），使它在x空间的一个区域的边界上满足给定的边界条件，并在此区域上满足t=0时的初始条件。在研究波的反射、干扰或有界弹性体的振动等问题时，就会自然地提出这类问题。二阶双曲型方程（4）带常见边界条件的混合问题也是在阿达马意义下适定的。在n=1的情形，对二阶双曲型方程的柯西问题及混合问题都可以利用黎曼函数方法求解。

对于高阶的方程或方程组，其双曲型的定义同样是和柯西问题的适定性密切联系在一起的，甚至可以用保证柯西问题为适定的要求来作为双曲型的定义。在常系数的情形，已为L.戈尔丁所详细分析，并给出了此时方程中的系数所应满足的代数条件，但由于该定义涉及到方程中非主部的系数，难以推广到变系数的情形。在一般的情况下，有意义的是给出方程中的系数所满足的一些代数条件，使能保证柯西问题的适定性，并适用于相当广泛的场合。下面是最常见和重要的两种情形。