双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

定义

重要概念和性质(分支 焦点 准线 离心率 顶点 渐近线)

双曲线的简单几何性质(2、对称性： 3、顶点： 4、渐近线： 5、离心率： 6、双曲线焦半径公式 7、等轴双曲线 8、共轭双曲线 9、准线： 10、通径长： 12、弦长公式： 13.双曲线内、上、外)

三角形面积公式

双曲线参数方程

定义

定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线。

定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。

定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。

定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

1.a、b、c不都是零.

2. b^2 - 4ac > 0.

3.a^2+b^2=c^2

在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.

上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。

重要概念和性质

以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。

分支

双曲线有两个分支。

焦点

在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。

准线

在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线

离心率

在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。

双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）

顶点

双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。

渐近线

双曲线有两条渐近线。

双曲线的简单几何性质

1、轨迹上一点的取值范围：

│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。

2、对称性：

关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：

A(-a,0)， A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.

B(0,-b）， B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.

F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c

对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2

4、渐近线：

焦点在x轴：y=±（b/a)x.

焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。

令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e)

令θ=0，得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e

令θ=PI，得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e

这两个x是双曲线定点的横坐标。

求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）

x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

（注意化简一下）

直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。

将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’

则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]

则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]

代入上式：

ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

现在可以用θ取代式中的θ’了

得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中

　设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则

y=(b/a）√（x^2-a^2） (x>a)

因为x^2-a^2<x^2，所以y=(b/a）√（x^2-a^2）<b/a√x^2=bx/a

即y<bx/a

所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方

根据对称性第二、三、四象限亦如此

5、离心率：

第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞）.

第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e.

d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e

6、双曲线焦半径公式

（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）

左焦半径：r=│ex+a│

右焦半径：r=│ex-a│

7、等轴双曲线

一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2

这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）

8、共轭双曲线

双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。

几何表达：S：（x^2/a^2）-(y^2/b^2）=1 S'：（y^2/b^2）-(x^2/a^2）=1

特点：（1）共渐近线 ；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点

（2）焦距相等

（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1

9、准线：

焦点在x轴上：x=±a^2/c

焦点在y轴上：y=±a^2/c

10、通径长：

（圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦）

d=2b^2/a

11、过焦点的弦长公式：

d=2pe/（1-e^2cos^2θ）

12、弦长公式：

d = √（1+k^2）|x1-x2| = √（1+k^2）(x1-x2）^2 = √（1+1/k^2）|y1-y2| = √（1+1/k^2）(y1-y2）^2 推导如下：

由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2） / (x1 - x2）

得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = (y1 - y2）/k

分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2）^2; + (y1 - y2）^2; ]

稍加整理即得：

|AB| = |x1 - x2|√（1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√（1 + 1/k^2;)

·双曲线的标准公式与反比例函数

　X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)

而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)

但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的

因为xy = c的对称轴是 y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴

所以应该旋转45度

设旋转的角度为 a （a≠0，顺时针）

（a为双曲线渐进线的倾斜角）

则有

X = xcosa + ysina

Y = - xsina + ycosa

取 a = π/4

则

X^2 - Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)^2

= （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2

= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)

= 2xy.

而xy=c

所以

X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0)

Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)

由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.

13.双曲线内、上、外

在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x^2/a^2-y^2/b^2>1；

在双曲线的线上称为双曲线上，则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；

在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。

三角形面积公式

若∠F1PF2=θ，

则S△F1PF2=b^2*cot（θ/2）或S△F1PF2=b^2*/tan（θ/2）

·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2-y^2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多

少？

解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2*cot（θ/2）

=√3

设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=1/2*h*2√2;h=√6/2

双曲线参数方程

双曲线的参数方程：x=a*sec θ (正割) y=b*tan θ ( a为实半轴长， b为虚半轴长， θ为参数。）