概况

简介

重要的数论函数

狄利克雷卷积

积性函数和完全积性函数

麦比乌斯反演公式

概况

在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。

最重要的算术函数是积性及加性函数。算术函数的最重要操作为狄利克雷卷积，对于算术函数集，以它为乘法，一般函数加法为加法，可以得到一个阿贝尔环。

简介

数论函数（number-theoretic function）

数论函数亦称算术函数。这是一类重要的函数，指定在正整数集上的

实值或复值函数。更一般地，也可把数论函数看作是在某一整数集上定义

的函数。

以正整数为定义域的函数ƒ(n)，例如数列{αn}、阶乘n!、幂nλ等都是数论函数。

重要的数论函数

设n的标准分解式为。 ①麦比乌斯函数易知

式中和号表示d过n的所有因数。

② 欧拉函数φ(n) 表示与 n互素且不超过n的正整数的个数，易证

，

这里(m,n)＝d。1801年，C.F.高斯证明了。关于欧拉函数，有一个迄今尚未解决的猜想：不存在复合数n使得φ(n)｜n-1。这个猜想是1932年由D.H.莱默尔提出来的。1962年，柯召和孙琦证明了这样的复合数存在，n至少是12个不同的奇素数的乘积；1980年,G.L.科恩和P.哈吉斯用计算机改进到 n至少是14个不同的奇素数的积。 ③除数函数

当u≠0时，则有

当u=0时，

σ1(n)=σ(n)，正整数n满足σ(n)=2n时，n就叫做完全数。 ④曼格尔德特函数

则有

和

后一恒等式在素数分布理论中有用。

狄利克雷卷积

设ƒ1(n)和ƒ2(n)是两个数论函数，则叫做ƒ1(n)和ƒ2(n)的狄利克雷卷积,记为ƒ1(n)*ƒ2(n)=ƒ(n)。显然,ƒ(n)也是一个数论函数, 且有这里ƒ3(n)也是一个数论函数。狄利克雷卷积是研究数论函数的重要概念。可以证明：全体ƒ(1)≠0的数论函数ƒ(n)，对于狄利克雷乘积*组成一个阿贝尔群。

积性函数和完全积性函数

若(m,n)=1，有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n),称数论函数ƒ(n)为积性函数；若对任意正整数m、n，都有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n)，则称数论函数 ƒ(n)为完全积性函数，例如墹(n)、nλ是完全积性函数，μ(n)、φ(n)、σu(n)是积性函数，但不是完全积性函数。曼格尔德特函数Λ(n)是非积性函数。积性函数有下列性质：①若ƒ(n)是一个非恒等于0的积性函数，则有ƒ(1)＝1和②若ƒ1(n)和ƒ2(n)都是积性函数，则ƒ1(n)*ƒ2(n)也是积性函数；③若ƒ1(n)*ƒ2(n)和ƒ2(n)是积性函数，则ƒ1(n)也是积性函数。

麦比乌斯反演公式

设n为正整数,则有反之亦然。这就是著名的麦比乌斯反演公式，它还有乘积表达式。则

麦比乌斯反演公式是R.戴德金1857年给出的，它有多种推广形式，在数论和组合数学中都很有用。例如由,用麦比乌斯反演公式立即可得。因为nu是积性函数,所以也是积性函数，于是容易求得σu(n)的表达式。以素数 p为模，把多项式xp-x分解为不可约多项式之积,设其素因式的次数为m,已知m|n，反之，任一个m(m|n)次不可约多项式一定是该式的因式,设φn表示对模p的n次不可约多项式的个数，故有由麦比乌斯反演公式得，故得φn>0，即知道元素个数为pn的有限域存在。