定义

ε的双重性(任意性 相应性)

几何意义

定义

设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作，或Xn→a（n→∞）

读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”．

若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列．

该定义常称为数列极限的 ε—N定义．

ε的双重性

任意性

不等式|xn-a|<ε刻划了xn与a的无限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明xn与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的正数，那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不等式|xn-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定ε<1)．另外，定义1中的xn-a|<ε也可改写成xn-a|≦ε

相应性

一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的；但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 ，比如当N=100时，能使得当ε>N时有xn-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成n≧N．

几何意义

当n>N时，所有的点xn都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有n个）在其外。

如下图