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词条 数列公式
释义

等比数列公式

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。

(1)等比数列的通项公式是:An=A1×q^(n-1)

若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

(2) 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

(4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。

记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质:

①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;

②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.

(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1) Sn=n*a1 (q=1)

在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

注意:上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列在生活中也是常常运用的。

如:银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,

再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期

等差数列公式

等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d

或an=am+(n-m)d

前n项和公式为:sn=na1+(n(n-1))/2 d或sn=(a1+an)n/2

若m+n=2p则:am+an=2ap

以上n均为正整数

文字翻译

第n项的值=首项+(项数-1)*公差

前n项的和=(首项+末项)*项数/2

公差=后项-前项

对称数列公式

对称数列的通项公式:

对称数列总的项数个数:用字母s表示

对称数列中项:用字母C表示

等差对称数列公差:用字母d表示

等比对称数列公比:用字母q表示

设,k=(s+1)/2

相关信息

一般数列的通项求法

一般有:

an=Sn-Sn-1 (n≥2)

累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an)。

逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)。

化归法(将数列变形,使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列)。

特别的:

在等差数列中,总有Sn S2n-Sn S3n-S2n

2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn

即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列

不动点法(常用于分式的通项递推关系)

特殊数列的通项的写法

1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n

1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n

2,4,6,8,10,12,14.......-------an=2n

1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1

-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n

1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)

1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2

1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2

9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1

1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9

1,4,9,16,25,36,49,.......------an=n^2

1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)

数列前N项和公式的求法

(一)1.等差数列:

通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数

an=ak+(n-k)d ak为第k项数

若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2

2.等差数列前n项和:

设等差数列的前n项和为Sn

即 Sn=a1+a2+...+an;

那么 Sn=na1+n(n-1)d/2

=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n

还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法

(二)1.等比数列:

通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项

an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)

则an/am=q^(n-m)

(1)an=am*q^(n-m)

(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)

(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq

2.等比数列前n项和

设 a1,a2,a3...an构成等比数列

前n项和Sn=a1+a2+a3...an

Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);

注: q不等于1;

Sn=na1 注:q=1

求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法(即数学归纳法) 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法

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更新时间:2025/3/1 9:56:43