射线

射线定理

射线定理解析几何(点密度 线密度 点密度、线密度关系)

射线定理与运动(匀速式 力的Pi、Pa式 功的Pi、Pa式 动线速 动点速)

射线定理与质点量(质点量)

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射线

在几何光学中，射线是描述光线或其他电磁辐射传播的方向的一条曲线。这种射线和物理光学的波前垂直。

在大部分的简单情况，在给定的传导体内的光射线是直线。光线经过一个传导体到另一个传导体，其路径符合司乃耳定律的折射或全内部反射。

特点

（1）只有一个端点，另一边可无限延长。

（2）不可测量。

射线定理

单点可以构成无数条射线，且其中一条射线上的点可以构成L=1/2（A^2-A）条线段。

例：平面内任意5个点所组成的图形（如右图）由多少条线段构成？

已知A=5 L=1/2（A^2-A)=1/2×（25﹣5）=10a

即为平面内点所构成的最大线段数。

线段

线段是两点间的一段连线，连线可以是曲线也可以是直线。

两点之间可以有无数条线段，其中一条最短线段称为直线段。

射线定理解析几何

点密度

定义：距离间所含的点的个数与该距离的长度的比值。

定义式：Pa=A/X

单位：点每米a/m 点每厘米 a/cm

线密度

定义：距离间所含线段的条数与该距离的长度的比值。

定义式：Pi=L/X

单位：线段每米i/m 线段每厘米i/cm

点密度、线密度关系

两条距离长度相等的线段，它们的点密度和线密度之比分别等于其点数及线段数之比。

Pa1 ：Pa2=A1 ：A2

Pi1 : Pi2=L1 ：L2

同一线段上的点密度与线密度之比等于其点数与线段数之比。

Pi : Pa=L : A

同一直线上的点密度与线密度的关系Pi=1/2(Pa^2-Pa)

距离式

推导：L=1/2（A^2-A）

PiX=1/2(Pa^2X^2-PaX)

X=2Pi+Pa/Pa^2

例：1.已知一个圆上有20个点，圆周长的线密度为1.9i/cm，求圆的点密度和圆的半径？

解：据射线定理得L=1/2（A^2-A）=1/2(400-20)=190i

X= C=L/Pi=190/1.9cm=100cm

R=C/2π=100/ 6.283=15.91cm

2.已知某物体运动的一段轨迹，轨迹的点密度为3.1a/m，求这段轨迹的线密度和长度?

解：据射线定理得L=1/2（A^2-A）

同一轨迹上 Pa=3.1a/m Pi=1/2（A^2-A）=1/2(3.1^2-3.1)=3.225i/m

X=2Pi+Pa/Pa^2 =2×3.225/3.1^2=0.67m

射线定理与运动

匀速式

X=2Pi+Pa/Pa^2 X=vt

v=2Pi+Pa/Pa^2t

例：某小球匀速运动通过一点密度为2.11a/m的直线，所花时间为12s，求物体匀速运动的速度大小？

解：同一直线Pa=2.11a/m Pi=1/2(Pa^2-Pa)=1.17105/m

v=2Pi+Pa/Pa^2t=0.083m/s

力的Pi、Pa式

运动学公式V^2-V0^2=2aX 力的定义式F=ma

距离式X=2Pi+Pa/Pa^2

得F=Pa^2V^2m-Pa^2V0^2ｍ/4Pi+2Pa

功的Pi、Pa式

功的定义式W=FX（a=90°）

F=Pa^2V^2m-Pa^2V0^2ｍ/4Pi+2Pa

X=2Pi+Pa/Pa^2

W=FX=Pa^2V^2m-Pa^2V0^2ｍ/2Pa^2

例：已知某质量为100kg的物体做匀加速直线运动的初末速度分别为3m/s和24m/s，位移的点密度为36.1a/m，求物体运动所受力的大小和物体运动所做的功？

解：同一位移上Pi : Pa=L : A

Pi=LPa/A=1/2（A^2-A）Pa/A=1/2(36.1^2-36.1)×36.1/36.1=636i/m

F=Pa^2V^2m-Pa^2V0^2ｍ/4Pi+2Pa

=36.1^2×24^2×100-36.1^2×3^2×100/4×636+2×36.1

=28244.02N

X=2Pi+Pa/Pa^2=2×636+36.1/36.1^2=1m

W=FX＝28244.02J

动线速

定义：某物体运动的速度与运动轨迹线密度的乘积。

定义式：Di=PiV

单位：线段每秒i/s

动点速

定义：某物体运动的速度与运动轨迹点密度的乘积。

定义式：Da=PaV

单位：点每秒a/s

例：1.小球以40m/s的速度通过一线密度为131.2i/m的直线，求动线速、动点速多大？

解：Di=PiV=40×131.2=5248i/s

131.2=1/2(A^2-A)

A=16.7或-15.71（舍）

Pa=APi/L=16.7×131.2/131.2=16.7a/s

Da=PaV=16.7×40=668a/s

2.已知地球绕太阳公转一周的平均速度约为30km/s动点速为3.2×10^-8a/s，求太阳的质量？（G=6.67×10^-11N·m^2/s^2）

解：由题意得Da=3.2×10^-8a/s V=30000m/s

Pa=Da/V=3.2×10^-8/30000=1.06×10^-12a/m

∵地球绕太阳公转视为一个为动点

Pa=A/X X=A/Pa=1/1.06×10^-12=9.4×10^11m

R=C/2π=9.4×10^11/2π=1.49×10^11m

据万有引力、向心力公式得

M（日）=4π^2R^3/GT^2=4π^2×(1.49×10^11)^3/6.67×10^-11×(365×24×3600)=1.98×10^30kg

射线定理与质点量

质点量

mass point quantity

如果物体本身的大小和形状对研究它的运动没有影响或影响很小，我们就可以用一个有质量的点来代替整个物体，这个用来代替整个物体的与物体具有相同质量的点，叫做质点。据F=Pa^2V^2m-Pa^2V0^2ｍ/4Pi+2Pa中Pa^2V^2m-Pa^2V0^2ｍ是一个具有特殊意义的量，它描述了一个质点运动的质量和位移大小及初末位置的速度的变化情况，所以Pa^2V^2m我们定义为质点量。

定义：质点的动点速的平方与其质量的乘积

表达式：Q=Da^2V=Pa^2V^2m

单位：a^2·kg/s^2

例：1.一个质量为2kg小球以5m/s的速度从A地运动到B地，发生的位移为1000m，求这个小球的质点量大小？

解：Pa=A/X=2/1000=0.002a/m

Q=Pa^2V^2m=0.002^2×25×2=0.0002a^2·kg/s^2

2.一个质量为20kg的物体做初速度为零的匀加速直线运动，末速度为16m/s，通过位移150m，求这个过程中物体质点量的变化值大小？

解：Pa=A/X=2/150=0.013a/m

ΔQ=Pa^2V^2m-Pa^2V0^2ｍ=0.013^2×16^2×20-0=0.887a^2·kg/s^2