| 词条 | 三线合一 |
| 释义 | 定义等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。叫等腰三角形三线合一。 前提：在三角形中！只要有两条线重合，那这个三角形一定是等腰三角形。 证明已知：△ABC为等腰三角形，AD为中线。求证：AD垂直平分BC，BD=DC. ∵△ABC为等腰三角形 (已知） ∴AB=AC(等腰三角形的性质) ∴∠B=∠C（等边对等角） ∵AD为中线（已知） ∴BD=DC（等腰三角形中线为垂直平分线） ∵AD为公共边 ∴△ADB≌△ADC（S.A.S) 可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等） ∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义） ∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换） 得证 应用1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC ∴AD⊥BD,AD平分∠BAC 2.∵AB=AC,AD⊥BD ∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC 3.∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC 逆定理① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ② 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ③ 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 总而言之：在一个三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。 （注意：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形，可应用正弦定理，或过此边中点作另外两边垂线。） |
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