定义

三条角分线共点证明

三角形内心的性质

三角形内心的做法

三角形内接圆半径

定义

在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,

三条角分线共点证明

证明：如图所示

作∠B、∠C角分线与AC、AB交与F、D

CD与BF交与I连接AI交BC于E

由塞瓦定理有（AD/BD）*（BE/CE）*（CF/AF）=1

∵BF、CD为角分线

∴由角分线定理有AD/BD=AC/BC CF/AF=BC/AB

∴BE/CE=AB/AC

由角平分线定理的逆定理有AE为∠A的角分线

证毕

三角形内心的性质

设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．

2、∠BIC=90°+A/2．

3、如图 在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：

(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．

6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．

7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．

8、　双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a

+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

10、（内角平分线定理）

ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

三角形内心的做法

做出三角形的内接圆○O过O分别作AC、BC（任意两边）垂线与圆O交于E、F连接AF、BE交于I，点I即为内心

三角形内接圆半径

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

2、在RT△ABC中，∠C=90°，r=ab/a+b+c

3任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长）