什么是三角方程

三角方程的解题方法

三角方程举例

基本三角方程的通解

什么是三角方程

一般指含有某些三角函数的方程，这些三角函数的自变量中含有未知数，含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。三角方程是三角中的重要内容,在解三角方程过程中,运用的知识比较广泛,不仅要用到三角中的许多定理与公式,还要涉及代数式的变形与代数方程等代数知识,最简单的三角方程实际上是由某角的三角函数值求角问题的延伸,是三角函数的周期性和反三角函数概念的最直接运用。

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三角方程的解题方法

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；基本思路是把它化成一个或几个最简单的三角方程，然后就这些最简单的三角方程写出它的通解。适合于方程的一个未知数的实数值（可以理解为角的弧度数）叫做三角方程的一个解；适合于方程的未知数的实数值的集合叫做三角方程的通解。

把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识。一是要掌握其基本方法，要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sinx和cosx齐次方程求解；（4）引入辅助角；（5）、利用三角函数定义求解；（6）、利用比例性质；（7）、利用升降次法；（8）、利用换元法；（9）、利用万能置换法。通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数，进一步提高三角变换能力。

三角方程举例

形如sinx=α的方程叫做最简三角方程。

解三角方程 x=arcsin(sin2x)

首先，明确一下反正弦函数：

x=arcsina表示一个在[-π/2,π/2]范围内的角，且其正弦值为a(a在[-1,1]),即sinx=a

解：由x=arcsin(sin2x)，知-π/2<=x<=π/2,且sinx=sin2x

即sinx = 2sinxcosx ，即sinx(1-2cosx)=0

则sinx=0或cosx=1/2

解得：x=kπ,或x=±π/3+kπ,其中k∈Z

又-π/2<=x<=π/2，对k赋值只有x=-π/3,x=0,x=π/3三个满足

即解集为 {-π/3,0,π/3}

注：反三角函数转化为三角函数来解

例如，形如f(sinx)=0或者f(cosx)=0或者f(tanx)=0或者f(cotx)=0的方程，这里ƒ是有理函数，可用一种万能公式，令f(sinx)或者f(cosx)或者f(tanx)或者f(cotx)=t然后用这个代入原方程,即可得到关于t的有理方程。用这个万能方法,可以求出除了形如x=(2n+1)π以外的方程的所有解。不能用精确解法来解的三角方程，可以用近似方法求解。

基本三角方程的通解

1．若sinx=a(|a|≤1), 则x=kπ+(－1)k·arcsina. k∈Z.2．若cosx=a(|a|≤1)，则x=2kπ±arccosa. k∈Z.3．若tgx=a，则x=kπ+arctga. k∈Z.4．若ctgx=a，则x=kπ+arcctga. k∈Z.5．要使方程cosx=√（a∧2-1）有解，则a的取值范围是.-√（2）≤a≤-1∪1≤a≤√（2）6．方程sinx+cosx=k在[0, π]上有两解，则k的取值范围是1≤k<√（2）.