| 词条 | 三角多项式 |
| 释义 | 简介形如 的多项式，式中系数αk(k=0,1,…,n),bk(k=1,2,…,n)为任意给定的实数,αn,bn不全为零。n称为此三角多项式的阶数。任何一个三角多项式都是周期2π的周期函数,因此对于三角多项式的研究往往只要在长为2π的半开区间中进行。任何两个三角多项式的和、差、积仍然是个三角多项式，而且,若Tn(r)与Tm(x)分别为n阶与m阶三角多项式，且m≥n，则Tn(x)±Tm(x)是个阶不超过m的三角多项式,Tn(x)·Tm(x)是阶为n+m的三角多项式。利用欧拉公式 任意一个n阶三角多项式都可写成 式中 n三角多项式在任一长为2π的半开区间中，最多只有2n个零点。因此,若两个n阶三角多项式在长为2π的半开区间中有2n+1个点处取值相同，则此两个三角多项式完全相同。 对于n阶三角多项式Tn(x)，记 常称为Tn的Lp范数，若1≤p≤p┡≤∞，则 此外还有如下的尼科利斯基不等式 特别有 伯恩斯坦不等式设Tn(x)是n阶三角多项式,Tń(x)是它的导数，则有不等式 这是1912年С.Η.伯恩斯坦发现的，称为伯恩斯坦不等式。其中系数n不能再减小，例如对任何常数A及α，Tn(x)=A sin(nx+α)都使它成等式。伯恩斯坦不等式在函数逼近论中起着重要的作用,并且有着各种拓广。例如,С.Б.斯捷奇金于1948年证明,对任何n阶三角多项式Tn(x)及自然数k，都有 共轭三角多项式对给定的n阶三角多项式Tn(x)，记 称为Tn(x)的共轭三角多项式。对于共轭三角多项式的导数有不等式 这里系数n也是不能减小的。 应该指出,对于复系数三角多项式Tn(x)（即诸系数αk,bk为复数），同样有 于是，对于自然数k，有 应用自然,三角多项式是一类简单的周期函数,但是，它是近似表示一般的周期函数的有效工具，随着三角多项式的阶的增高，任何连续的周期函数都可以借助于三角多项逼近到预先给定的程度。反之如果已知这种逼近程度的收敛于零的速度，也就有可能推出被逼近函数的构造性质,这个事实本身是有着深刻的物理意义的,周期运动的分解便是一个明显的例证。三角多项式是在其他数学、物理、力学等领域中有着广泛的应用。 |
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