简介

证明

简介

三割线定理是调和点列中的一个熟知结论,却曾被民间数学家多次"发现".

三割线定理可表述为：PAB、PCD为⊙O的两任意割线，AD与BC交于Q，PQ交⊙O于E、F，则1/PE+1/PF=2/PQ

推广：自二次曲线L外一点P作直线交L于A,B,C,D,弦AD,BC交于Q,PQ交L于E,F,则1/PE+1/PF=2/PQ

证明

在这里仅考虑二次曲线为圆的情况

连BF、DF、AE、CE

由AE内分∠PAQ→由分角定理→

(EQ/PE)=(sin∠EAQ/ sin∠PAE)（sin∠APQ/ sin∠AQP）

由CE内分∠PCQ→由分角定理→

(EQ/PE)=(sin∠ECQ/ sin∠ECP)（sin∠CPQ/ sin∠CQP）

由∠EAQ=∠DFE=∠ECP，∠PAE=∠EFB=∠ECQ→

（EQ·EQ）/（PE·PE）=（sin∠APQ·sin∠CPQ）/（sin∠AQP·sin∠CQP）⑴。

由BF外分∠PBQ→

(FQ/PF)=(sin∠FBQ/ sin∠PBF)（sin∠APQ/ sin∠BQP○）

由DF外分∠PDQ→

(FQ/PF)=(sin∠FDQ/ sin∠PDF)（sin∠CPQ/ sin∠DQP○）

由∠FBQ与∠PDF，∠PBF与∠FDQ互补，→

（FQ·FQ）/（PF·PF）=（sin∠APQ·sin∠CPQ）/ （sin∠CQP○·sin∠AQP○）⑵，（○表示互补）

对照⑴⑵→EQ/PE=FQ/PF→（PQ－PE）/PE=（PF－PQ）/PF→（PQ/PE）－1=1－（PQ/PF）→

PQ/PE+ PQ/PF=2→1/PE+1/PF=2/PQ。证毕。