锐角三角函数定义

互余角的三角函数间的关系

同角三角函数间的关系(平方关系： 积的关系： 倒数关系：)

三角函数值(特殊的三角函数值 同角三角函数的基本关系式)

锐角三角函数

锐角三角函数定义

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c

余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c

正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b

余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a

正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b

余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a

初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角 的 三角函数。初中研究的锐角 的 三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan），余切（cot）

互余角的三角函数间的关系

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

同角三角函数间的关系

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

积的关系：

sinα=tanα·cosα

cosα=cotα·sinα

tanα=sinα·secα

cotα=cosα·cscα

secα=tanα·cscα

cscα=secα·cotα

·

倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

三角函数值

（1）特殊角三角函数值

（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（3）锐角三角函数值的变化情况

（i）锐角三角函数值都是正值

（ii）当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，

0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,

当角度在0°<∠A<90°间变化时，

tanA>0, cotA>0.

特殊的三角函数值

0° 30° 45° 60° 90°

0 1/2 √2/2 √3/2 1 ← sinA

1 √3/2 √2/2 1/2 0 ← cosA

0 √3/3 1 √3 None ← tanA

None √3 1 √3/3 0 ← cotA

“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:
商的关系：
平方关系：
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
sinα+cosα=1
1+tanα=secα
1+cotα=cscα

诱导公式

sin（－α）=－sinα　cos（－α）=cosα　tan（－α）=－tanα　cot（－α）=－cotα

sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα　sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα　sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα　sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
(其中k∈Z)

半角的正弦、余弦和正切公式　三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式　三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα
cos2α=cosα－sinα=2cosα－1=1－2sinα
2tanα
tan2α=—————
1－tanα　sin3α=3sinα－4sinα
cos3α=4cosα－3cosα
3tanα－tanα
tan3α=——————
1－3tanα

三角函数的和差化积公式　三角函数的积化和差公式

α+β α－β
sinα+sinβ=2sin—－－·cos—－—
2 2
α+β α－β
sinα－sinβ=2cos—－－·sin—－—
2 2
α+β α－β
cosα+cosβ=2cos—－－·cos—－—
2 2
α+β α－β
cosα－cosβ=－2sin—－－·sin—－—
2 2　 1
sinα ·cosβ=-[sin（α+β）+sin（α－β）]
2
1
cosα ·sinβ=-[sin（α+β）－sin（α－β）]
2
1
cosα ·cosβ=-[cos（α+β）+cos（α－β）]
2
1
sinα ·sinβ=－-[cos（α+β）－cos（α－β）]
2