什么是缺八数

清一色

三位一体

轮流休息

一以贯之

走马灯

回文结对 携手同行

追本穷源

8进制和16进制下的缺八数

什么是缺八数

自然数12345679被称为“缺8数”，它有许多奇妙的性质。

清一色

缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”，例如：

12345679×9=111111111

12345679×18=222222222

12345679×27=333333333

12345679×36=444444444

12345679×45=555555555

12345679×54=666666666

12345679×63=777777777

12345679×72=888888888

12345679×81=999999999

三位一体

缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数，可以得到“三位一体”，例如：

12345679×12=148148148

12345679×15=185185185

12345679×33=407407407

12345679×57=703703703

12345679×78=962962962

轮流休息

当乘数不是9或3的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘数在区间[10，17]的情况（其中12和15因是3的倍数，予以排除）：

12345679×10=123456790（缺8）

12345679×11=135802469（缺7）

12345679×13=160493827（缺5）

12345679×14=172839506（缺4）

12345679×16=197530864（缺2）

12345679×17=209876543（缺1）

乘数在[19，26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不多也不少，实在有趣。

一以贯之

当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如：

乘数为9的倍数

12345679×243=2999999997

只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。

乘数为3的倍数，但不是9的倍数

12345679×84=1037037036

只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现“三位一体”。

乘数为3K+1或3K+2型

12345679×98=1209876542

表面上看来，乘积中出现雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，仍是轮流“休息”。

走马灯

当缺8数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如：

12345679×19=234567901

12345679×28=345679012

12345679×37=456790123

深入的研究显示，当乘数为一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如：

12345679×8=098765432

12345679×17=209876543

12345679×26=320987654

12345679×35=432098765

回文结对 携手同行

缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：

12345679×4=49382716

12345679×5=61728395

前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中应有之义）

这样的“回文结对，携手并进”现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：

12345679×22=271604938

12345679×23=283950617

前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。（后一式的2移到后面，并5代以4）

追本穷源

缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：

1/81=0.012345679012345679012345679……，缺8数和1/81的循环节有关。

在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？

我们看到，1/81=1/9×1/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9=0.111111111……

1/9×1/9，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：

很明显，11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方=12345678987654321。

但现在是无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。

那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：

1/81×9=1/9=0.111111111……

缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：

1/81×3=1/27=0.037037037……，一开始就出现了三位的循环节。

缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走马灯”了。

循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。

8进制和16进制下的缺八数

也许有人以为缺八数是10进制下的特有情况，但事实是，在8进制和16进制下也有类似的数字出现。

8进制下的缺8数为：123457

123457×7=1111111

在8进制下，7的2倍不是14，而是16

123457×16=2222222

123457×25=3333333

等等

10进制中缺8数关于乘数3的性质是由关于乘数9的性质衍生而来的，在8进制中没有类似的性质。

16进制中缺8数为：123456789abcdf

123456789abcdf×f=111111111111111

如前所述，缺8数的出现与循环小数有密切的联系。

在任何一种进制中，1除以最大的个位数，得到的都是0.1111...无限循环的小数，缺8数的全部性质理论上应该都能由此推出。

可以认为，缺8数的性质是由进制的规则决定的，是进制性质的反应。