全纯函数(Holomorphic functions)是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在C中取值的函数，在每点复可微。这是比实可微强得多的条件，它表示函数无穷可微并可以用它的泰勒级数描述。解析函数(analytic function)一词经常可以和"全纯函数"互相交换使用，虽然前者有几个其他含义。一个在整个复平面上全纯的函数称为整函数(entire function)。"在一点a全纯"不仅表示在a可微,而且表示在某个中心为a的复平面的开邻域可微。双全纯(Biholomorphic)表示一个有全纯逆函数的全纯函数。

定义

等价的定义

例子

性质

几个变量

扩展到泛函分析

定义

若U为C的开子集而f : U → C是一个函数，我们称f是在U中一点z0复可微(complex differentiable)，若极限

<math>f'(z_0) = \\lim_{z \\rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \\over z - z_0 } </math>

存在。

极限取所有趋向z0的复数的序列，并对所有这种序列差的商趋向同一个数f '(z0). 直观上，如果f在z0复可微而我们从r方向趋向点z0，则函数的像会从f '(z0) r方向趋近点f(z0)，其中的乘积是复数乘法。

这个可微性的概念和实可微性有几个相同性质: 它是线性的，并服从乘积，商和链式法则。

若f在U中每点z0复可微，我们称f'在U上全纯。我们称f在点z0全纯，如果它在z0的某个邻域全纯。

等价的定义

一个复函数全纯当且仅当它满足柯西-黎曼方程.

例子

z的所有复系数的多项式函数在C上是全纯的.

所有z的三角函数和所有指数函数也是. (三角函数事实上和指数函数密切相关并可以通过欧拉公式来用指数函数定义).

对数函数的主支在集合C - {z ∈ R : z ≤ 0}上全纯. 平方根函数可以定义为

<math>\\sqrt{z} = e^{\\frac{1}{2}\\ln z}</math>

所以任何对数ln(z)全纯的地方,它也全纯.函数1/z在{z : z ≠ 0}上全纯.

不是全纯的函数的典型例子有复共轭(complex conjugation)和取实部.

性质

因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积和复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非0的地方全纯。

每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域U内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看全纯函数解析。

若把C和R2等同起来，则全纯函数和满足柯西-黎曼方程的双实变量函数相同，该方程组含有两个偏微分方程。

在非0导数的点的附近，全纯函数是共形的(或称保角的)。因为他们保持了小图形的角度和形状(但尺寸可能改变)。

柯西积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。

几个变量

多复变量的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以(在一个多盘，也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比柯西-黎曼方程要强；事实上它可以这样表述:

一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。

扩展到泛函分析

全纯函数的概念可以扩展到范函分析中的无穷维空间。Fréchet导数条目介绍了巴拿赫空间上的全纯函数的概念。